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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 So 27.11.2005 | | Autor: | Thoron |
Hi, hab da ne kleine Unklarheit bei meinen Aufgaben und hoffe mir kann jemand helfen.
Ich hab da zum Beispiel die Folge n \ (n³+n²+1) (Nullfolge) Zum Schluss wird gefragt ob man eine Konstante C>0 finden kann so das die Abschätzung [mm] |a_n| \le [/mm] C/n gilt?
Ich hab dann einfach das n aus dem Nenner nach links oben gebracht und mir dann gedacht das ich als kleinste Zahl für die Folge die 1 einsetzen kann (n [mm] \in [/mm] N ) Dann bekomme ich C=1/3 raus. Da für jedes größere n die Folge kleiner wird ist sie auch kleiner wie 1/3. Und ich hab für die Konstante Konstante C die Lösung 1/3. So weit so gut, aber verbessert mich wenn ich schon da was falsch gemacht hab.
Nun kommt eine weitere Aufgabe (2): Versuchen sie die Konvergenzraten für die in Aufgabe 1 definierten Folgen durch Nachweis der erforderlichen Abschätzungen zu bestimmen.
Davor stand ein Text mit Infos die lauten: Die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiere gegen a. Falls die Nullfolge [mm] (a_n [/mm] -a) äquivalent zur Nullfolge [mm] n^{- alpha} [/mm] ist, wobei {alpha} [mm] \in [/mm] R+ so bezeichnet man {alpha} als die Konvergenzordnung oder Konvergenzrate. Man sagt auch das [mm] a_n [/mm] - a konvergiert (so schnell) wie [mm] n^{- alpha} [/mm] gegen 0. Falls (nur) eine Abschätzung nach oben besteht z.B [mm] |a_n [/mm] -a| < [mm] Cn^{- alpha} [/mm] nennt man {alpha} eine untere Schranke für die Konvergenzordnung [mm] |a_n [/mm] -a| konvergiert dann mindestens so schnell gegen 0 wie [mm] n^{- alpha} [/mm] . Entsprechend definiert man obere Schranke für die konvergenzordnung.
Gibts da irgendwelche widersprüche zu den 2 aufgaben was C und die Konvergenzrate angeht? Oder haben die 2 Dinge gar nix miteinander zu tun.
ist also wirklich nur das alpha die konvergenzrate?
[mm] Cn^{- alpha} [/mm] ist ja eigentlich so viel wie [mm] C/n^{alpha}
[/mm]
Und wenn ich jetzt für alpha 1 einsetze hab ich C/n. Genau das was oben bei Aufgabe 1 steht. Bedeutet das nun die Lösung der Aufgabe 2 (die sich auf die folgen von Aufgabe 1 bezieht) ist {alpha} = 1 ?
Oder wie muss ich das alles verstehen?
Habt bitte Gnade mit mir wenn das mit der Formeldarstellung jetzt net klappt. Hab versucht mit den Symbolen zu arbeiten und hoffe es hat geklappt. Nur irgendwie gabs bei den Beispielen bei mir Darstellungsfehler.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Mo 28.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der erste Teil sagt doch nur, dass mindestens die Konvergenzrate [mm] \alpha=1 [/mm] vorliegt. könnte ja aber auch noch [mm] \alpha [/mm] >1 sein. das solltest du nachprüfen.Dabei muss C nicht der kleinst mögliche Wert sein. in a wäre auch c=1 oder c=17 richtig!
Was ich nicht verstanden hab: "ich hab einfach die n aus dem Nenner nach links oben gebracht"
Gruss leduart
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