Konvergenzradius mit Fakultät < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mo 20.05.2013 | | Autor: | FloraM |
| Aufgabe | [mm] \sum_{n=0}^{\infty} x^{n!} [/mm]
Begründen Sie, dass die Reihe eine Potenzreihe darstellt, und bestimmen Sie ihren Konvergenzradius. Konvergiert die Reihe in den Randpunkten des Konvergenzintervals? |
Hallo,
bisher habe ich mir folgendes gedacht:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} x^{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{(n-1)!*n} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^{(n-1)!})^n[/mm]
Somit ist die Reihe eine geometrische Reihe und damit auch eine Potenzreihe.
Nun fehlt mir aber das berühmte [mm] a_n [/mm], das zur Konvergenzradienbestimmung wichtig ist.
Kommilitonen von mir haben einfach das Quotientenkriterium mit [mm] a_n = x^{(n-1)!} [/mm] angewendet. Ist das korrekt?
Danke für eure Hilfe!
EDIT: Index korrigiert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} x^{n!}[/mm]
>
Zunächst einmal: da stimmt doch etwas nicht. Damit die Frage einen Sinn ergibt, sollten Indexvariable und Exponent übereinstimmen. Ist also folgendes [mm] gemeint:\sum_{n=0}^{\infty}x^{n!}
[/mm]
?> Begründen Sie, dass die Reihe eine Potenzreihe darstellt,
> und bestimmen Sie ihren Konvergenzradius. Konvergiert die
> Reihe in den Randpunkten des Konvergenzintervals?
>
> Hallo,
>
> bisher habe ich mir folgendes gedacht:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} x^{n!} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{(n-1)!*n} = \sum_{k=0}^{\infty} (x^{(n-1)!})^n[/mm]
>
> Somit ist die Reihe eine geometrische Reihe und damit auch
> eine Potenzreihe.
Das ist - mit Verlaub - Quatsch. Damit es eine geometrische Reihe wird, sollte [mm] x^{(n-1)!} [/mm] konstant sein; soviel dazu...
Schlage einfach die Definition einer Potenzreihe nochmal nach und beziehe in deine Überlegungen die Möglichkeit ein, dass Koeffizienten auch gleich Null sein dürfen.
> Nun fehlt mir aber das berühmte [mm]a_n [/mm], das zur
> Konvergenzradienbestimmung wichtig ist.
Es ist [mm] a_n=0 [/mm] oder [mm] a_n=1 [/mm] (wobei die Indexvariable jetzt wieder nicht passt). Das bringt dir aber hier m.E. nichts. Nimm mal an, alle [mm] a_n [/mm] wären gleich 1. Welchen Konvergenzradius erhältst du? So, und jetzt lassen wir alle Koeffizienten gleich Null werden, deren Indexzahl keine Fakultät ist. Und es geht darum, zu zeigen, dass sich der Konvergenzradius dabei nicht ändert (also dass er insbesondere nicht größer wird).
> Kommilitonen von mir haben einfach das Quotientenkriterium
> mit [mm]a_n = x^{(n-1)!}[/mm] angewendet. Ist das korrekt?
Nein, das ist falsch.
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:18 Mo 20.05.2013 | | Autor: | FloraM |
> Zunächst einmal: da stimmt doch etwas nicht. Damit die Frage einen Sinn ergibt, sollten Indexvariable und Exponent übereinstimmen.
Du hast natürlich recht, da ist mir ein (konstanter) Tippfehler unterlaufen. Habe es auch im Aufgabentext editiert, um Verwirrungen zu vermeiden.
> Das ist - mit Verlaub - Quatsch. Damit es eine geometrische Reihe wird, sollte [mm]x^{(n-1)!}[/mm] konstant sein
Das stimmt natürlich.
> Schlage einfach die Definition einer Potenzreihe nochmal nach und beziehe in deine Überlegungen die Möglichkeit ein, dass Koeffizienten auch gleich Null sein dürfen.
Die Def. zur Potenzreihe liegt mir vor als [mm] f(x) = \summe_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n [/mm], wobei x auch nicht von n abhängen darf. Was mich immer noch nicht auf eine Idee bringt, wie die Fakultät im Exponenten zu verarbeiten ist.
> Nimm mal an, alle [mm]a_n[/mm] wären gleich 1. Welchen Konvergenzradius erhältst du?
[mm] r = 1 [/mm]?
> So, und jetzt lassen wir alle Koeffizienten gleich Null werden, deren Indexzahl keine Fakultät ist. Und es geht darum, zu zeigen, dass sich der Konvergenzradius dabei nicht ändert (also dass er insbesondere nicht größer wird).
Und jetzt bin ich raus. Da mir die Koeffizienten noch nicht klar sind weiß ich auch nicht, wie ich die gegen Null gehen lassen kann.
Danke schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Und jetzt bin ich raus. Da mir die Koeffizienten noch nicht
> klar sind weiß ich auch nicht, wie ich die gegen Null
> gehen lassen kann.
fred97 hat zu deiner Ausgangsfrage eine weitere Antwort geschrieben. Ich würde vorschlagen, dort weiterzumachen. Mit seinen Ausführungen solltest du jetzt klarkommen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} x^{n!}[/mm]
>
> Begründen Sie, dass die Reihe eine Potenzreihe darstellt,
> und bestimmen Sie ihren Konvergenzradius. Konvergiert die
> Reihe in den Randpunkten des Konvergenzintervals?
>
>
> Hallo,
>
> bisher habe ich mir folgendes gedacht:
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} x^{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{(n-1)!*n} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^{(n-1)!})^n[/mm]
>
> Somit ist die Reihe eine geometrische Reihe und damit auch
> eine Potenzreihe.
>
> Nun fehlt mir aber das berühmte [mm]a_n [/mm], das zur
> Konvergenzradienbestimmung wichtig ist.
>
> Kommilitonen von mir haben einfach das Quotientenkriterium
> mit [mm]a_n = x^{(n-1)!}[/mm] angewendet. Ist das korrekt?
>
> Danke für eure Hilfe!
>
>
> EDIT: Index korrigiert.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}x^{n!} [/mm] $ hat die Form
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$,
[/mm]
wobei [mm] a_k=1, [/mm] falls k=n! ist für ein n und [mm] a_k=0 [/mm] sonst.
Das nennt man eine Lückenreihe.
Zur Bestimmung des Konvergenzradius ist weder Wurzel - noch Quotientenkriterium geeignet.
Edit: mit dem WK gehts doch ganz gut.
Klar ist: für x=1 ist die Potenzreihe divergent. Damit ist der Konvergenzradius schon mal [mm] \le [/mm] 1.
Für |x|<1 überlege Dir, dass gilt:
[mm] |x|^{n!} \le |x|^n.
[/mm]
Wie groß ist nun Konvergenzradius ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mo 20.05.2013 | | Autor: | FloraM |
> Die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}x^{n!}[/mm] hat die Form
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k[/mm],
>
> wobei [mm]a_k=1,[/mm] falls k=n! ist für ein n und [mm]a_k=0[/mm] sonst.
>
> Das nennt man eine Lückenreihe.
Logisch!! Das ist genial!!
> Für |x|<1 überlege Dir, dass gilt:
>
> [mm]|x|^{n!} \le |x|^n.[/mm]
Das ist logisch, da wir uns zwischen 0 und 1 bzw. -1 befinden. Das brauch ich an dieser Stelle, damit ich die "vereinfachte" Potenzreihe = geometrische Reihe betrachten kann?
> Wie groß ist nun Konvergenzradius ?
Mit Cauchy-Hadamard und dem Limes superior = 1 (größte Häufungspunkt) ist der Radius auch 1. Korrekt? Damit konvergiert die Reihe für |x|<1.
Was ist mit dem Rand? Kann ich da eine Aussage machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}x^{n!}[/mm] hat die Form
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k[/mm],
> >
> > wobei [mm]a_k=1,[/mm] falls k=n! ist für ein n und [mm]a_k=0[/mm] sonst.
> >
> > Das nennt man eine Lückenreihe.
>
> Logisch!! Das ist genial!!
>
>
> > Für |x|<1 überlege Dir, dass gilt:
> >
> > [mm]|x|^{n!} \le |x|^n.[/mm]
>
> Das ist logisch, da wir uns zwischen 0 und 1 bzw. -1
> befinden. Das brauch ich an dieser Stelle, damit ich die
> "vereinfachte" Potenzreihe = geometrische Reihe betrachten
> kann?
Für |x|<1 ist [mm] \sum |x|^n [/mm] konv. Nach dem Majorantenkrit. konv. dann auch [mm] \sum |x|^{n!}.
[/mm]
>
>
> > Wie groß ist nun Konvergenzradius ?
>
> Mit Cauchy-Hadamard und dem Limes superior = 1 (größte
> Häufungspunkt) ist der Radius auch 1. Korrekt?
Ja
> Damit
> konvergiert die Reihe für |x|<1.
>
> Was ist mit dem Rand? Kann ich da eine Aussage machen?
Was für x=1 los ist wissen wir doch schon !
Ist [mm]\sum_{n=0}^{\infty}x^{n!}[/mm] für x=-1 konvergent oder divergent ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 20.05.2013 | | Autor: | FloraM |
> Was für x=1 los ist wissen wir doch schon !
Da divergiert sie....
> Ist [mm]\sum_{n=0}^{\infty}x^{n!}[/mm] für x=-1 konvergent oder
> divergent ?
Würde denken divergent. Wenn man mit Leibniz rangeht hat man für den Fall [mm] a_k = 1[/mm] ja keine Nullfolge und somit konvergiert es nicht. Oder ist das Unsinn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Was für x=1 los ist wissen wir doch schon !
>
> Da divergiert sie....
>
> > Ist [mm]\sum_{n=0}^{\infty}x^{n!}[/mm] für x=-1 konvergent oder
> > divergent ?
>
> Würde denken divergent. Wenn man mit Leibniz rangeht hat
> man für den Fall [mm]a_k = 1[/mm] ja keine Nullfolge und somit
> konvergiert es nicht. Oder ist das Unsinn?
Ja, das ist völliger Unsinn !
Schau Dir mal
[mm]\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n!}[/mm]
genau an. Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 20.05.2013 | | Autor: | FloraM |
> Schau Dir mal
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> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n!}[/mm]
>
> genau an. Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ?
Na eigentlich sind alle [mm] a_k [/mm] Null außer einem. Womit es zur Nullfolge wird? Und damit konvergiert?
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Hallo,
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> > Schau Dir mal
> >
> > [mm]\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n!}[/mm]
> >
> > genau an. Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ?
>
> Na eigentlich sind alle [mm]a_k[/mm] Null außer einem. Womit es zur
> Nullfolge wird? Und damit konvergiert?
Hm, da hast du einiges noch nicht verstanden? Wenn von einem Reihenglied gesprochen wird, dann meint man im Fall einer Potenzreihe schon
[mm] a_k*(x-x_0)^k
[/mm]
Vielleicht schreibst du dir mal für die ersten paar n die Reihenglieder hin, dann siehst du sicherlich, was FRED meint. Oder du überlegst dir, was für die Fakultät n! für [mm] n\ge{2} [/mm] generell gilt...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Mo 20.05.2013 | | Autor: | FloraM |
> Hm, da hast du einiges noch nicht verstanden?
JAP!
> Vielleicht schreibst du dir mal für die ersten paar n die
> Reihenglieder hin, dann siehst du sicherlich, was FRED
> meint. Oder du überlegst dir, was für die Fakultät n!
> für [mm]n\ge{2}[/mm] generell gilt...
Oha, logisch. Die sind alle gerade, weswegen wir nur 2-mal (-1) haben und dann nur noch größer werden. Divergiert also.
Vielen, vielen Dank ihr beiden!!!
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