Konvergenzradius (komplex) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 23.01.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Sei [mm] $z\in\IC$ [/mm] und
[mm] $\sum_{n=0}^\infty(3+4i)nz^n$
[/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzradius R und prüfen Sie die Randpunkte. |
[mm] $c=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|(3+4i)(n+1)|}{|(3+4i)n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|n+1|}{|n|}=1$
[/mm]
[mm] \Rightarrow R=\frac{1}{c}=1
[/mm]
Zum überprüfen der Randpunkte |z|=-1 und |z|=1 setze ich sie ein:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(3+4i)n$
[/mm]
und
[mm] $\sum_{n=0}^\infty(3+4i)n1^n=\sum_{n=0}^\infty(3+4i)n$
[/mm]
Da beides keine Nullfolgen sind, ist die Reihe konvergent für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $-1<|z|<1$
Stimmt das soweit?
Darf man in solchen Fällen auch $(3+4i)$ aus der Summe rausziehen (da es ja ein konstanter Faktor bezüglich der Summation ist) und das Intervall von
[mm] $(3+4i)\sum_{n=0}^\infty nz^n$ [/mm] bestimmen?
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Hallo [mm] \not\in [/mm] X,
> Sei [mm]z\in\IC[/mm] und
> [mm]\sum_{n=0}^\infty(3+4i)nz^n[/mm]
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius R und prüfen Sie die
> Randpunkte.
>
> [mm]c=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|(3+4i)(n+1)|}{|(3+4i)n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|n+1|}{|n|}=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow R=\frac{1}{c}=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zum überprüfen der
> Randpunkte |z|=-1 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Der Betrag einer komplexen Zahl ist immer [mm] $\ge [/mm] 0$
> und |z|=1 setze ich sie ein:
Zu untersuchen sind die Punkte [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z|=1$.
Dazu gehören u.a. die Punkte $z=1$ und $z=-1$, aber auch alle anderen Punkte auf dem Rand des Einheitskreises ...
> [mm]\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(3+4i)n[/mm]
> und
> [mm]\sum_{n=0}^\infty(3+4i)n1^n=\sum_{n=0}^\infty(3+4i)n[/mm]
> Da beides keine Nullfolgen sind, ist die Reihe konvergent
> für alle [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]-1<|z|<1[/mm]
Was soll diese Ungleichung bedeuten? Kannst du sie mal übersetzen ..
>
> Stimmt das soweit?
Das verstehe ich nicht ...
Du hast gezeigt, dass die Potenzreihe für [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z|<1$ konvergiert und für [mm] $z=\pm [/mm] 1$ divergiert, mehr nicht ...
Über die restlichen Punkte auf dem Rand des Einheitskreises musst du noch was sagen!
> Darf man in solchen Fällen auch [mm](3+4i)[/mm] aus der Summe
> rausziehen (da es ja ein konstanter Faktor bezüglich der
> Summation ist) und das Intervall von
> [mm](3+4i)\sum_{n=0}^\infty nz^n[/mm] bestimmen?
von [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}nz^n$ [/mm] ja, der konstante Faktor wird ja, wenn er in der Reihe steht, sowohl beim QK als auch bei Cauchy-Hadamard zu 1, fällt also für den Konvergenzradius nicht ins Gewicht.
Wenn du ihn rausziehst, dann untersuche den K-Radius der "Rest"-Reihe, multipliziere ihn aber nicht nachher mit dem konstanten Faktor 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 23.01.2010 | | Autor: | notinX |
> > Randpunkte |z|=-1
>
> Der Betrag einer komplexen Zahl ist immer [mm]\ge 0[/mm]
Oh ja, da hast Du ziemlich Recht...
> > Da beides keine Nullfolgen sind, ist die Reihe
> konvergent
> > für alle [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]-1<|z|<1[/mm]
>
> Was soll diese Ungleichung bedeuten? Kannst du sie mal
> übersetzen ..
so besser: [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z|<1$ ?
> Du hast gezeigt, dass die Potenzreihe für [mm]z\in\IC[/mm] mit
> [mm]|z|<1[/mm] konvergiert und für [mm]z=\pm 1[/mm] divergiert, mehr nicht
> ...
>
> Über die restlichen Punkte auf dem Rand des
> Einheitskreises musst du noch was sagen!
>
Sei [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z|=1$
$ [mm] \sum_{n=0}^\infty(3+4i)nz^n [/mm] $
Aber wie überprüfe ich die Konvergenz für alle z mit $|z|=1$?
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(3+4i)(n+1)z^{n+1}}{(3+4i)nz^{n}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)z}{n}\right|=z$ [/mm] Das macht mich nicht schlauer und das Quotientenkriterium sieht auch nicht vielversprechender aus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 31.01.2010 | | Autor: | notinX |
Ich bin immernoch an der Beantwortung der Frage interessiert :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Randpunkte |z|=-1
> >
> > Der Betrag einer komplexen Zahl ist immer [mm]\ge 0[/mm]
> Oh ja,
> da hast Du ziemlich Recht...
Wieso "ziemlich" ? Er hat zu 100% Recht !
>
> > > Da beides keine Nullfolgen sind, ist die Reihe
> > konvergent
> > > für alle [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]-1<|z|<1[/mm]
> >
> > Was soll diese Ungleichung bedeuten? Kannst du sie mal
> > übersetzen ..
>
> so besser: [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z|<1[/mm] ?
>
> > Du hast gezeigt, dass die Potenzreihe für [mm]z\in\IC[/mm] mit
> > [mm]|z|<1[/mm] konvergiert und für [mm]z=\pm 1[/mm] divergiert, mehr nicht
> > ...
> >
> > Über die restlichen Punkte auf dem Rand des
> > Einheitskreises musst du noch was sagen!
> >
>
> Sei [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm]
> [mm]\sum_{n=0}^\infty(3+4i)nz^n[/mm]
> Aber wie überprüfe ich die Konvergenz für alle z mit
> [mm]|z|=1[/mm]?
Sei |z|=1 . Setze [mm] $a_n [/mm] = [mm] (3+4i)nz^n$. [/mm] Dann ist [mm] $|a_n| [/mm] = |3+4i|n$
Siehst Du jetzt , dass [mm] (a_n) [/mm] keine Nullfolge ist ? Was folgt daraus ?
FRED
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(3+4i)(n+1)z^{n+1}}{(3+4i)nz^{n}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)z}{n}\right|=z[/mm]
> Das macht mich nicht schlauer und das Quotientenkriterium
> sieht auch nicht vielversprechender aus.
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Di 09.02.2010 | | Autor: | notinX |
> Sei |z|=1 . Setze [mm]a_n = (3+4i)nz^n[/mm]. Dann ist [mm]|a_n| = |3+4i|n[/mm]
>
> Siehst Du jetzt , dass [mm](a_n)[/mm] keine Nullfolge ist ? Was
> folgt daraus ?
daraus folgt (mit dem voherigen Ergebnis aus dem Konvergenzradius), dass $ [mm] \sum_{n=0}^\infty(3+4i)nz^n [/mm] $ divergiert für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $ mit $ [mm] |z|\geq [/mm] 1 $ und konvergiert für $ [mm] z\in\IC [/mm] $ mit $ |z|< 1 $
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
So ist es
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Di 09.02.2010 | | Autor: | notinX |
War eigentlich gar nicht so schwer, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Dankeschön.
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