Konvergenzradius/geschl. Form < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mo 12.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | a) Bestimmen sie den Konvergenzradius der Reihe: [mm] \summe_{k=0}^{k} (-2)^k x^k
[/mm]
b) Bestimmen sie die Stammfunktion F durch gliedweise Integration
c) Geben sie f in geschlossener Form an
d) Berechnen sie daraus erneut eine Stammfunktion |
Also die a) bekomme ich noch hin und erhalte einen Radius von (1/2)
Doch schon bei der b) erhalte ich Probleme.
[mm] \summe_{k=0}^{k} \bruch{(-2)^k x^ (k+1)}{k+1} [/mm] hätte ich nun vom Gefühl her gesagt:...da für mich ja das k, das bei x steht relevant ist?!
c) und d) Habe ich nun keine Idee mehr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Bestimmen sie den Konvergenzradius der Reihe:
> [mm]\summe_{k=0}^{\red{k}} (-2)^k x^k[/mm]
soll das [mm] $\red{k}$ [/mm] nicht eher [mm] $\blue{\infty}$ [/mm] sein?
> b) Bestimmen sie die eine Stammfunktion F durch gliedweise
> Integration
>
> c) Geben sie f in geschlossener Form an
>
> d) Berechnen sie daraus erneut eine Stammfunktion
> Also die a) bekomme ich noch hin und erhalte einen Radius
> von (1/2)
Genau. D.h. die obige (Potenz-)Reihe (in [mm] $x\,$ [/mm] mit Entwicklungspunkt [mm] $0\,$) [/mm] konvergiert für alle $|x|<1/2$ und divergiert für alle $|x|>1/2$.
> Doch schon bei der b) erhalte ich Probleme.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\blue{\infty}} \bruch{(-2)^k x^ (k+1)}{k+1}[/mm] hätte ich
> nun vom Gefühl her gesagt:...da für mich ja das k, das
> bei x steht relevant ist?!
Mach' bei Potenzen geschweifte Klammern um den Exponenten, dann ist's lesbar(er)
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-2)^k x^ {k+1}}{k+1}\,.$$
[/mm]
Das ist okay, was mir persönlich fehlt, wäre eine Begründung, warum man hier Integration und Summation vertauschen darf (aber das scheint nicht Bestandteil der Aufgabe zu sein).
> c) und d) Habe ich nun keine Idee mehr
Naja, in d) sollst Du eine Stammfunktion zu
$$x [mm] \mapsto \frac{1}{1-(-2x)}=\frac{1}{1+2x}$$
[/mm]
berechnen. Das kannst Du aber auch erst wissen, wenn Du bzgl. c)
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty} (-2)^k x^k=\summe_{k=0}^{\infty} (-2x)^k$$
[/mm]
umschreibst und dann ![[]](/images/popup.gif) reihenweise an sowas schönes geometrisches hier denkst (für $|-2x|<1$ bzw. $|x| <1/2$).
Beste Grüße,
Marcel
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