Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius einer Reihe - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft

Raum für Mathematik Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum

Forenbaum

UKomplx

UAnaSon

ULinAGS

Algebra

Logik

Numerik

DGL

Wahrscheinlichkeitstheorie

Topologie+Geometrie

Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen...
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Startseite > MatheForen > Folgen und Reihen > Konvergenzradius einer Reihe

Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften

Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius einer Reihe

Konvergenzradius einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Folgen und Reihen" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Konvergenzradius einer Reihe: Rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:05 Do 24.01.2008
Autor:	MartinS83

Aufgabe

 Untersuchen Sie, für welche x > 0 die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^{k}}x^{k} [/mm] konvergiert bzw divergiert. 

Hallo,

ich habe mir zur obigen Aufgaben ein paar Gedanken gemacht und möchte gern wissen, ob mein Ergebnis stimmt.

Der Konvergenzradius r einer Folge lässt sich berechnen mit folgender Formel:

r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm]

Erstmal habe ich [mm] a_{k+1} [/mm] etwas vereinfacht:

[mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)!}{(k+1)^{(k+1)}} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)k!}{(k+1)(k+1)^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(k+1)^{k}} [/mm]

Nun zum Grenzwert

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{k!}{(k+1)^{k}}}{\bruch{k!}{k^{k}}} [/mm] = [mm] \bruch{k^{k}}{(k+1)^{k}} [/mm] = [mm] (\bruch{k}{(k+1)})^{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})})^{k} [/mm] = [mm] 1^{k} [/mm] = 1 (für [mm] k\rightarrow\infty). [/mm]

Somit konvergiert die Folge für alle k < 1.

Stimmt das so ?

Bezug

Konvergenzradius einer Reihe: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:26 Do 24.01.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo Martin,

deine Rechnung ist ganz gut, aber am Ende beim Grenzübergang hast du nen Fehler

> Untersuchen Sie, für welche x > 0 die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^{k}}x^{k}[/mm] konvergiert
> bzw divergiert.

Der Laufindex ist k ;-)

>  Hallo,
>
> ich habe mir zur obigen Aufgaben ein paar Gedanken gemacht
> und möchte gern wissen, ob mein Ergebnis stimmt.
>
> Der Konvergenzradius r einer Folge

Du hast eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ [/mm]

> lässt sich berechnen mit
> folgender Formel:
>
> r = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm]

Dann ist der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$ [/mm]

Die Potenzreihe konvergiert dann für $|x|<R$ und divergiert für $|x|>R$

Für $|x|=R$ musst du die Konvergenz/Divergenz manuell prüfen, also [mm] $x=\pm [/mm] R$ in die Reihe einsetzen und schauen, ob die Reihe dann konvergiert/divergiert

> Erstmal habe ich [mm]a_{k+1}[/mm] etwas vereinfacht:
>
> [mm]a_{k+1}[/mm]  = [mm]\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{(k+1)}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)k!}{(k+1)(k+1)^{k}}[/mm] = [mm]\bruch{k!}{(k+1)^{k}}[/mm]

>
> Nun zum Grenzwert
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{k!}{(k+1)^{k}}}{\bruch{k!}{k^{k}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{k^{k}}{(k+1)^{k}}[/mm] = [mm](\bruch{k}{(k+1)})^{k}[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})})^{k}[/mm]

Bis hierhin

> = [mm]1^{k}[/mm] = 1 (für [mm]k\rightarrow\infty).[/mm]

Die Folge [mm] $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm] konvergiert doch gegen $e$ für [mm] $k\to\infty$ [/mm]

Also konvergiert [mm] $\left(\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\right)^k$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{e}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$ [/mm]

Also [mm] $r=\frac{1}{e}$ [/mm]

Damit ist aber doch der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}=e$ [/mm] und die Reihe konvergiert für alle x mit $|x|<e$ und divergiert für $|x|>e$

>
> Somit konvergiert die Folge für alle k < 1.