Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}$ [/mm] |
Ich hab mal folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu bestimmen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|$
[/mm]
Dann komm ich auf folgende Form:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|$
[/mm]
Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm] $n^4$
[/mm]
und erhalte als Grenzwert $x$
Heißt das nun, wenn
1)
$x=0$ [mm] \rightarrow [/mm] $R = [mm] \infty$
[/mm]
2)
[mm] $x\not=0$ \rightarrow [/mm] $R = 0$
Stimmt das so?
Wie bestimme ich, wo die Funktion differenzierbar ist?
Etwa mit [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] ?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die
> Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}[/mm]
> Ich hab mal
> folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu
> bestimmen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]
Kannst du natürlich machen, aber für Potenzreihen gibt es doch eigene Kriterien, die die Sache etwas verkürzen ...
>
> Dann komm ich auf folgende Form:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|[/mm]
>
> Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm]n^4[/mm]
>
> und erhalte als Grenzwert [mm]x[/mm]
Na, genauer doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}=|x|\cdot{}1=|x|$ [/mm] !!
Und gem. Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für $|x|<1$ und divergiert für $|x|>1$
Der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe ist also [mm] $\rho=1$
[/mm]
Innerhalb ihres Konvergenzbereiches, also für [mm] $x\in(-1,1)$ [/mm] ist die Reihe differenzierbar.
Untersuche noch, wie es an den Randstellen $|x|=1$, also für [mm] $x=\pm [/mm] 1$ aussieht.
Da könnte die Reihe noch konvergent sein und damit einseitig diffbar ...
>
> Heißt das nun, wenn
> 1)
> [mm]x=0[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] [mm]R = \infty[/mm]
>
> 2)
> [mm]x\not=0[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] [mm]R = 0[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Wie bestimme ich, wo die Funktion differenzierbar ist?
>
> Etwa mit [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] ?
>
> Lg
>
Gruß
schachuzipus
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Danke für deine Hilfe!
> > Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die
> > Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}[/mm]
> > Ich hab
> mal
> > folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu
> > bestimmen:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]
>
> Kannst du natürlich machen, aber für Potenzreihen gibt es
> doch eigene Kriterien, die die Sache etwas verkürzen ...
>
> >
> > Dann komm ich auf folgende Form:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|[/mm]
>
> >
> > Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm]n^4[/mm]
> >
> > und erhalte als Grenzwert [mm]x[/mm]
>
> Na, genauer doch
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}=|x|\cdot{}1=|x|[/mm]
> !!
>
> Und gem. Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für [mm]|x|<1[/mm]
> und divergiert für [mm]|x|>1[/mm]
>
> Der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe ist also
> [mm]\rho=1[/mm]
>
> Innerhalb ihres Konvergenzbereiches, also für [mm]x\in(-1,1)[/mm]
> ist die Reihe differenzierbar.
>
> Untersuche noch, wie es an den Randstellen [mm]|x|=1[/mm], also für
> [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht.
>
> Da könnte die Reihe noch konvergent sein und damit
> einseitig diffbar ...
Also für $x = +1$ ist die Reihe absolut konvergent.
Und laut Konvergenzkriterium von Leibnitz ist die Reihe auch für $x = -1$ konvergent.
Das heißt, die Funktion ist im Bereich $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ differenzierbar und der
Konvergenzradius $R = 1$?
In meinem Skriptum wird beim Konvergenzradius nur zwischen [mm] $R=\infty$ [/mm] und $R=0$ unterschieden. Oder ist das wieder etwas anderes?
Lg
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Hallo nochmal,
> Danke für deine Hilfe!
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> > > Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die
> > > Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}[/mm]
> > > Ich
> hab
> > mal
> > > folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu
> > > bestimmen:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]
> >
> > Kannst du natürlich machen, aber für Potenzreihen gibt es
> > doch eigene Kriterien, die die Sache etwas verkürzen ...
> >
> > >
> > > Dann komm ich auf folgende Form:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|[/mm]
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> >
> > >
> > > Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm]n^4[/mm]
> > >
> > > und erhalte als Grenzwert [mm]x[/mm]
> >
> > Na, genauer doch
> >
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}=|x|\cdot{}1=|x|[/mm]
> > !!
> >
> > Und gem. Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für [mm]|x|<1[/mm]
> > und divergiert für [mm]|x|>1[/mm]
> >
> > Der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe ist also
> > [mm]\rho=1[/mm]
> >
> > Innerhalb ihres Konvergenzbereiches, also für [mm]x\in(-1,1)[/mm]
> > ist die Reihe differenzierbar.
> >
> > Untersuche noch, wie es an den Randstellen [mm]|x|=1[/mm], also für
> > [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht.
> >
> > Da könnte die Reihe noch konvergent sein und damit
> > einseitig diffbar ...
>
> Also für [mm]x = +1[/mm] ist die Reihe absolut konvergent.
> Und laut Konvergenzkriterium von Leibnitz
Leibniz - ohne "t" !
> ist die Reihe
> auch für [mm]x = -1[/mm] konvergent. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das heißt, die Funktion ist im Bereich [mm]x \in [-1,1][/mm]
> differenzierbar
Zumindest konvergent, im Inneren diffbar und am Rand einseitig diffbar ...
> und der
> Konvergenzradius [mm]R = 1[/mm]?
Ja, das ist er auch ohne Randpunkte 
>
> In meinem Skriptum wird beim Konvergenzradius nur zwischen
> [mm]R=\infty[/mm] und [mm]R=0[/mm] unterschieden.
Da steht sicher etwas wie: "Der K-radius einer Potenzreihe ist [mm]R\in[0,\infty][/mm]", soll heißen, er ist nicht negativ, kann aber auch [mm]\infty[/mm] sein ...
> Oder ist das wieder etwas
> anderes?
Keine Ahnung, hast du wohl falsch im Kopf, schlag mal lieber nach ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
>
> Lg
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Ich danke dir!
Muss wohl so sein, werds nochmal nachschlagen.
Lg
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