Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius von
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}\*z^{n} [/mm] |
So, also nun muss ich laut unsere Definition [mm] l_{a}=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}|} [/mm] berechnen oder?
Wenn ja, dann weiß ich nicht, wie ich den Term umformen soll, sodass ich den limes bestimmen kann. Für mich gibt es das Problem mit der n-ten Wurzel und irgendwie lässt sich auch nichts wegkürzen.
Ich brauche Hilfe
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Nimm r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|.
[/mm]
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Ok, dann habe ich
[mm] limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}|}{|\bruch{2}{(n+1^{2}-\bruch{3}{2}}|}
[/mm]
Dann kann man ja 2 herauskürzen und es bleibt folgendes
[mm] limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}+2n-0.5}{n^{2}-1.5}
[/mm]
Kann man vielleicht jetzt Polynomdivsion anwenden und dann erhält man 1 und einen Restterm und der Restterm geht gegen unendlich und deshalb bleibt noch die 1, dass heißt Grenzwert ist 1.
Ist das die richtige Vorgehensweise?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 Sa 05.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, dann habe ich
>
> [mm]limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}|}{|\bruch{2}{(n+1^{2}-\bruch{3}{2}}|}[/mm]
> Dann kann man ja 2 herauskürzen und es bleibt folgendes
>
> [mm]limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}+2n-0.5}{n^{2}-1.5}[/mm]
Genau.
> Kann man vielleicht jetzt Polynomdivsion anwenden und dann
> erhält man 1 und einen Restterm und der Restterm geht
> gegen unendlich und deshalb bleibt noch die 1, dass heißt
> Grenzwert ist 1.
Du meinst, der Restterm geht gegen 0. Andernfalls waer der Grenzwert [mm] $\infty$ [/mm] und nicht 1.
> Ist das die richtige Vorgehensweise?
Ja.
LG Felix
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Ok, stimmt, der andere Term geht gegen 0, sonst wäre ja die Folgerung eine andere...
Bei dieser Aufgabe muss ich auch den Konvergenzradius bestimmen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n+1}*z^{2n}
[/mm]
Hier stört mich, dass bei [mm] z^{2n} [/mm] eine 2 da steht und für die Anwendung der Formel steht in der Definition [mm] z^{n}.
[/mm]
Muss ich das erst umformen, bevor ich die Formel anwenden kann und den Konvergenzradius bestimmen soll?
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Ok, stimmt, der andere Term geht gegen 0, sonst wäre ja
> die Folgerung eine andere...
> Bei dieser Aufgabe muss ich auch den Konvergenzradius
> bestimmen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n+1}*z^{2n}[/mm]
>
> Hier stört mich, dass bei [mm]z^{2n}[/mm] eine 2 da steht und für
> die Anwendung der Formel steht in der Definition [mm]z^{n}.[/mm]
Substituiere [mm] $y:=z^2$, [/mm] dann hast du die Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n+1}\cdot{}y^{n}$
[/mm]
Dann wieder Cauchy-Hadamard, berechne [mm] $\limsup [/mm] .... =q$
Dann hast du Konvergenz für [mm] $|y|=|z|^2
>
> Muss ich das erst umformen, bevor ich die Formel anwenden
> kann und den Konvergenzradius bestimmen soll?
>
> Vielen Dank
> Gruß
> TheBozz-mismo
LG
schachuzipus
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Ok, wenn ich das substituiere und dann den limsup berechne, dann komme ich auf:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{2(n+1)+1}}{\bruch{1}{2n+1}} [/mm] und dann bekomme ich nach Polynomdivision
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1-\bruch{1}{2n+3} [/mm] und da der Bruch gegen 0 geht, bekommt man den Limes von 1 heraus.
So, und wenn ich nun zurücksubstiere, dann hab ich [mm] \wurzel{1} [/mm] und das ist ja bekanntlich 1.
Das heißt, der Konvergenzradius von der Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n+1}\cdot{}z^{2n} [/mm] $ ist 1!
Richtig?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo TheBozz-mismo!
Dein Endergebnis ist richtig. Allerdings hast Du hier eine falsche Formel für den ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius angewandt.
Es muss korrekt lauten:
$$r \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{1}{2n+1}}{\bruch{1}{2n+3}}\right| [/mm] \ = \ ...$$
Wie gesagt: das Endergebnis bleibt.
Und: genau genommen, musst Du die beiden Ränder [mm] $r_1 [/mm] \ = \ -1$ bzw. [mm] $r_2 [/mm] \ = \ +1$ noch gesindert untersuchen.
Gruß
Loddar
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Mir bringt es ja nicht so viel, wenn das Ergebnis stimmt, aber bei einer anderen Aufgabe kommt etwas dazu und ich würde es schon gerne komplett verstehen.
Ich habe Probleme, die Betragsstriche aufzulösen. Im Prinzip muss man doch 2 Fälle unterscheiden, einmal x>o und x<0.
Hier bei der Aufgabe:
limes von (1-(2)/(2n+1)) und um den Ausdruck stehen noch die Betragszeichen, oder?
Der Betrag von 1 ist 1, also kann ich da doch die Betragsstriche schonmal weglassen und bei dem anderen muss ich ne Fallunterscheidung machen, da bekomme ich aber x1=0.5 und x2=-0.5
Könntest du deine Ausführungen noch etwas erweitern und mir auch sagen, wann ich die Betragsstriche nicht mehr schreiben muss.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Sa 05.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Konvergenzradius ist immer ne positive Zahl [mm] r\ge [/mm] 0
d,h, du hast konvergenz dann bei r=1 für |z|<1
nur |z|≠1 mus man einzeln untersuchen. un dabei z=-1 und z=+1 einzeln behandeln.
Gruss leduart
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Ich verstehe, was du meinst, aber wie soll ich das jetzt genau machen. Einmal für z -1 und dann 1 einsetzen und dann? Nach n umstellen oder was?
Lieben Gruß
THeBozz-mismo
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Hiho,
> Ich verstehe, was du meinst, aber wie soll ich das jetzt
> genau machen. Einmal für z -1 und dann 1 einsetzen und
> dann? Nach n umstellen oder was?
Nein. Du setzt 1 in die Reihe ein und erhälst bspw. bei der ersten Reihe eben:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}*1^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}$
[/mm]
und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}} [/mm] konvergiert nach bekannten Kriterien (welchen), d.h. deine Reihe konvergiert auch für $z=1$.
Analog machst du das für $z=-1$ in diesem Fall.
Generell setzt du halt einmal $z=r$ und einmal $z=-r$ und musst das gesondert überprüfen.
MFG,
Gono.
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Ok, also muss man, wenn man den Konvergenzradius zeigen möchte, auch Konvergenz zeigen?
Also wir haben doch hier den Quotientenkriterium angewendet und das macht doch für z=1 keine Aussage. Oder nein, wir haben die Cauchy-Hadamard-Formel benutzt.
Ich weiß noch nicht genau, wie oder was mir der Konvergenzradius hilft, die Konvergenz zu zeigen oder zu belegen. Kann mir das einer erklären?
Wenn man das jetzt bei der Aufgabe mit z=-1 machen würde, dann würde doch vor dem Ausdruck nur ein Minus stehen und demnach nichts ändern...oder?
Hab noch eine weitere Aufgabe, wo man den Konvergradius bestimmen soll.
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{3^{n}}\cdot{}z^{n!} [/mm]
Kann mir da einer die Herangehensweise sagen, weil wir ja jetzt n Fakultät haben...
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Konvergenzradius sagt nur dass die Reihe für |z|<r konvergiert. die Randpunkte muss man immer getrennt untersuchen. Hier konv die Reihe auch in den Randpunkten.
neue [mm] Reihe:z^{n!}=w^n [/mm] Konvergenzradius für w bestimmen. dann den für z
Gruss leduart.
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Ok, also wir haben die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{3^{n}}\cdot{}z^{n!} [/mm] $
Ok, wir substituieren [mm] z^{n!}=w^n [/mm] und dann wende ich die Formel an.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (1/(3^n))^{1/n} [/mm] und das ist nach Umformungen 1/3, so, also ist der Konvergenzradius [mm] 1/3^n! [/mm] oder wie oder was? Kann mir da einer helfen?
Und nochmal zurück zur ersten Aufgabe: Ich muss den Konvergenzradius bestimmen mit der Formel des Wurzelkriteriums, dass heißt $ [mm] l_{a}=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}|} [/mm] $
Wie kann ich diesen Term umstellen, sodass 1 herauskommt? Also Zähler ist nicht schwer, weil da ja steht 2^(1/n) und das ergbit im Unendlichen 1...oder? Und wie muss ich im Nenner vorgehen?
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, also wir haben die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{3^{n}}\cdot{}z^{n!}[/mm]
> Ok, wir substituieren [mm]z^{n!}=w^n[/mm] und dann wende ich die
> Formel an.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](1/(3^n))^{1/n}[/mm] und das
> ist nach Umformungen 1/3, so, also ist der Konvergenzradius
> [mm]1/3^n![/mm] oder wie oder was? Kann mir da einer helfen?
Zunächst sieht man: obige Reihe konvergiert für z = 1. Zeige nun , dass für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 die Reihe für $z = [mm] 1+\varepsilon$ [/mm] divergiert.
Dann ist der konvergenzradius = 1
>
> Und nochmal zurück zur ersten Aufgabe: Ich muss den
> Konvergenzradius bestimmen mit der Formel des
> Wurzelkriteriums, dass heißt
> [mm]l_{a}=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{2}{n^{2}-\bruch{3}{2}}|}[/mm]
> Wie kann ich diesen Term umstellen, sodass 1 herauskommt?
> Also Zähler ist nicht schwer, weil da ja steht 2^(1/n) und
> das ergbit im Unendlichen 1...oder? Und wie muss ich im
> Nenner vorgehen?
Es ist $1 [mm] \le n^2-\bruch{2}{3}\le n^2$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2, jetzt n-te Wurzel und dann n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Ok, bei Aufgabe a benutzt du sozusagen das Einschließungslemma oder? Das 1 kleiner dem Term ist, hast du dir so überlegt, wie genau. Ich weiß jetzt nicht, wie man daraufkommt, dass der Term größer gleich 1 ist.
So, zu der anderen Aufgabe: Ich verstehe deine Aussagen nicht. Ist das, was ich gerechnet habe, Grenzwert 1/3, falsch?
Wie kommst du darauf, das die Reihe konvergiert? Und warum führst du jetzt [mm] \varepsilon [/mm] ein, wie kommst du darauf und wie soll ich das zeigen
ich weiß, viele Fragen, aber ich bitte um Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 09.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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