Konvergenzradius allg. Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_{n} z^{n} [/mm] eine Potenzreihe, in der fast alle Koeffizienten von Null verschieden sind. Ferner existiere r' := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] (|a_{n}|) \over (|a_{n+1}|) [/mm] ). Zeige, dass die Potenzreihe für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| < r' konvergiert und für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| > r' divergiert. |
huhu zusammen,
Hier geht es ja um das Thema konvergenzradius, wobei die Formel sogar angegeben ist (r') und halt eine allgmein gehaltene Potenzreihe. Wir hatten das mit dem |z| < oder > als r' und dass es dann konvergiert/divergiert einfach hingenommen und das hier ist dann wohl die Aufgabe, es zu beweisen, dass es so ist, allerdings fehlt mir hier jeglicher Ansatz wie ich es zeigen könnte ;/ . kann mir jemand einen Denkanstoß geben?^^
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Hallo,
> Sei [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{n} z^{n}[/mm] eine Potenzreihe,
> in der fast alle Koeffizienten von Null verschieden sind.
> Ferner existiere r' := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm](|a_{n}|) \over (|a_{n+1}|)[/mm] ). Zeige, dass die Potenzreihe
> für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit |z| < r' konvergiert und für alle
> z [mm]\in \IC[/mm] mit |z| > r' divergiert.
Obige Potenzreihe ist für alle [mm]z\in\IC[/mm] divergent, du addierst unendlich viele konstante Glieder ...
Die hängen doch alle nicht vom Laufindex i ab!
Wahrscheinlich meinst du aber [mm]\sum\limits_{\red{n}=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]
> huhu zusammen,
>
> Hier geht es ja um das Thema konvergenzradius, wobei die
> Formel sogar angegeben ist (r') und halt eine allgmein
> gehaltene Potenzreihe. Wir hatten das mit dem |z| < oder >
> als r' und dass es dann konvergiert/divergiert einfach
> hingenommen und das hier ist dann wohl die Aufgabe, es zu
> beweisen, dass es so ist, allerdings fehlt mir hier
> jeglicher Ansatz wie ich es zeigen könnte ;/ . kann mir
> jemand einen Denkanstoß geben?^^
Fasse die Reihe als "normale" Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n[/mm] auf mit [mm]b_n=a_nz^n[/mm] und lasse das Quotientenkriterium darauf los ...
Gruß
schachuzipus
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huhu,
jop sry für das i statt n.
Also das normal quotientenkriterium sehe ja dann so aus :
erstmal definiere ich die Reihe als normale reihe bn und dann mach ich folgendes:
[mm] |b_{n+1}| \over |b_{n}| [/mm] sprich: [mm] (|a_{n+1} \* z^{n+1}|) \over (|a_{n} \* z^{n}|) [/mm] wäre ja gekürzt
[mm] (|a_{n+1} \* z|)\over (|a_{n}|) [/mm] da kann man das |z| ja glaube ich davor ziehen, sodass |z| [mm] (|a_{n+1}|) \over (|a_{n}|) [/mm] da steht, also |z| mal dem normalen quotientenkriterium. Mit dem hier und dem Wissen das r' der Kehrwert des Q-Kriteriums ist, wie kann ich weiter vorgehen?
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Hallo nochmal,
> huhu,
> jop sry für das i statt n.
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> Also das normal quotientenkriterium sehe ja dann so aus :
> erstmal definiere ich die Reihe als normale reihe bn und
> dann mach ich folgendes:
>
>
> [mm]|b_{n+1}| \over |b_{n}|[/mm] sprich: [mm](|a_{n+1} \* z^{n+1}|) \over (|a_{n} \* z^{n}|)[/mm]
> wäre ja gekürzt
>
> [mm](|a_{n+1} \* z|)\over (|a_{n}|)[/mm] da kann man das |z| ja
> glaube ich davor ziehen, sodass |z| [mm](|a_{n+1}|) \over (|a_{n}|)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da steht, also |z| mal dem normalen quotientenkriterium.
> Mit dem hier und dem Wissen das r' der Kehrwert des
> Q-Kriteriums ist, wie kann ich weiter vorgehen?
Du betrachtest ja im QK den Limes davon, also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z|\cdot{}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
Und (absolute) Konvergenz gibt es gem. QK, falls dieser Limes [mm]q[/mm] mit [mm]q<1[/mm] ist (und Divergenz für [mm]q>1[/mm])
Also [mm][/mm][mm]|z|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\overset{!}{<}1[/mm]
Folglich (absol.) Konvergenz für [mm]|z|<\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=r'[/mm] und Divergenz für ">"
Gruß
schachuzipus
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ahhh^^ ich verstehe es ;) Danke für die gute Erklärung schachuzipus!
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