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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius Potenzreihe
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Konvergenzradius Potenzreihe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Mi 09.11.2011
Autor: Sylece

Aufgabe
Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}*x^{n} [/mm]

Entscheiden Sie, ob f(1) definiert ist. Wenn ja, berechnen Sie f(1)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo alle zusammen :-)!

Meine Frage zu dieser Aufgabe bezieht sich auf den 2. Aufgabenteil.

Habe für den Konvergenzradius R= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] rausbekommen und bin mir auch ziemlich sicher das der richtig ist.

Da aus R das Konvergenz-Intervall folgt, gilt: [mm] K=]\bruch{-\pi}{2};\bruch{\pi}{2}[ [/mm]

Nun zu meiner Frage:

Woran sehe ich, ob f(1) definiert ist?

Muss ich gucken, ob 1 im Konvergenz-Intervall ist?
Falls ja, wie berechne ich dann f(1)? Einfach für x=1 einsetzen und das wars?

Danke im Vorraus für eure Unterstützung :-)

lg

        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mi 09.11.2011
Autor: fred97


> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
>  
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}*x^{n}[/mm]
>  
> Entscheiden Sie, ob f(1) definiert ist. Wenn ja, berechnen
> Sie f(1)
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo alle zusammen :-)!
>  
> Meine Frage zu dieser Aufgabe bezieht sich auf den 2.
> Aufgabenteil.
>  
> Habe für den Konvergenzradius R= [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> rausbekommen und bin mir auch ziemlich sicher das der
> richtig ist.

Ja, das stimmt.


>  
> Da aus R das Konvergenz-Intervall folgt, gilt:
> [mm]K=]\bruch{-\pi}{2};\bruch{\pi}{2}[[/mm]

Eigentlich müßtest Du hier noch untersuchen, ob die Potenzreihe in den Punkten [mm] \pm \bruch{\pi}{2}[/mm] konvergiert. Aber das tut sie nicht (warum ? )
>  
> Nun zu meiner Frage:
>  
> Woran sehe ich, ob f(1) definiert ist?
>  
> Muss ich gucken, ob 1 im Konvergenz-Intervall ist?

Genau das mußt Du machen.


>  Falls ja, wie berechne ich dann f(1)? Einfach für x=1
> einsetzen und das wars?

Falls 1 im Konvergenzintervall liegt, ja

FRED
>  
> Danke im Vorraus für eure Unterstützung :-)
>  
> lg
>  

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Mi 09.11.2011
Autor: Sylece

Vielen Dank für die schnelle Antwort :-) hat mir auf jedenfall weitergeholfen!


> Eigentlich müßtest Du hier noch untersuchen, ob die
> Potenzreihe in den Punkten [mm]\pm \bruch{\pi}{2}[/mm] konvergiert.
> Aber das tut sie nicht (warum ? )

Hmmm... Habe mich schon gefragt wie man das an den Randpunkten überprüft, aber habe da keine Idee :-(

In meinem Skript steht nur das der Konvergenzradius keine Auskünfte über Divergenz und Konvergenz in den Randpunkten gibt und das es da keine Allgemeine Aussage gibt, denn es sei von Fall zu Fall unterschiedlich.

Aber wie ich das überprüfe, steht da leider nicht drin :-(!

Wie setzt man denn dort an :-)?

lg
Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Mi 09.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Sylece und erstmal [willkommenmr],


> Vielen Dank für die schnelle Antwort :-) hat mir auf
> jedenfall weitergeholfen!

Was hast du denn für [mm]f(1)[/mm] berechnet?

>  
>
> > Eigentlich müßtest Du hier noch untersuchen, ob die
> > Potenzreihe in den Punkten [mm]\pm \bruch{\pi}{2}[/mm] konvergiert.
> > Aber das tut sie nicht (warum ? )
>  
> Hmmm... Habe mich schon gefragt wie man das an den
> Randpunkten überprüft, aber habe da keine Idee :-(
>  
> In meinem Skript steht nur das der Konvergenzradius keine
> Auskünfte über Divergenz und Konvergenz in den
> Randpunkten gibt und das es da keine Allgemeine Aussage
> gibt, denn es sei von Fall zu Fall unterschiedlich.

Genau, um den Konvergenzradius zu bestimmen, kannst du die Randpunkte außen vor lassen. Dort kann Konvergenz oder Divergenz vorliegen.

Erst, wenn du alle [mm]x[/mm] bestimmen soll, musst du das überprüfen.

Das machst du durch Einsetzen in die Reihe:

1) [mm]x=+\frac{\pi}{2}[/mm]

Das liefert [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{\pi^{n+1}}\cdot{}\left(\frac{\pi}{2}\right)^n=\frac{1}{\pi}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}1[/mm]

Und das ist hochgradig divergent

2) [mm]x=-\frac{\pi}{2}[/mm] ganz analog - mache das mal!

>  
> Aber wie ich das überprüfe, steht da leider nicht drin
> :-(!
>  
> Wie setzt man denn dort an :-)?

Einsetzen der fraglichen Punkte und mit den üblichen Konvergenzkriterien für "normale" Reihen auf Konvergenz prüfen ...

>  
> lg

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Mi 09.11.2011
Autor: Sylece


> Was hast du denn für [mm]f(1)[/mm] berechnet?

[mm] f(1)=\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}*1^{n} [/mm]
     [mm] =\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}*1 [/mm]
     [mm] =\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}} [/mm]

Das wäre mein f(1). Ist das dann alles? :-)

> Einsetzen der fraglichen Punkte und mit den üblichen Konvergenzkriterien für "normale" Reihen auf Konvergenz prüfen ...

Also mit dem Wurzel- bzw. QuotientenKriterium?

lg :-)

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Mi 09.11.2011
Autor: fred97


> > Was hast du denn für [mm]f(1)[/mm] berechnet?
>  
> [mm]f(1)=\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}*1^{n}[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}*1[/mm]
>       [mm]=\summe_{n=0}^{V}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}[/mm]

Das kann man noch einfacher schreiben. Denke an die geometrische Reihe.

>  
> Das wäre mein f(1). Ist das dann alles? :-)


>  
> > Einsetzen der fraglichen Punkte und mit den üblichen
> Konvergenzkriterien für "normale" Reihen auf Konvergenz
> prüfen ...
>  
> Also mit dem Wurzel- bzw. QuotientenKriterium? Und anderen Kriterien..

FRED
>  
> lg :-)
>    

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mi 09.11.2011
Autor: Sylece


> Das kann man noch einfacher schreiben. Denke an die
> geometrische Reihe.
>  

  [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}} [/mm]

[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{\pi^{1+\bruch{1}{n}}})^{n} [/mm]

[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}q^{n} [/mm]      ???    

kann ich so die geometrische Reihe anwenden?

Lg

Sylece
Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Mi 09.11.2011
Autor: fred97


> > Das kann man noch einfacher schreiben. Denke an die
> > geometrische Reihe.
>  >  
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}}[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{\pi^{1+\bruch{1}{n}}})^{n}[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}q^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

      ???    
>
> kann ich so die geometrische Reihe anwenden?

nein. So:

  

  $ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{\pi^{n+1}} = \bruch{1}{\pi} \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{\pi}})^n$

FRED
>  
> Lg
>  
> Sylece

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Mi 09.11.2011
Autor: Sylece

Man meine Antwort war ja fast peinlich ....

Ok ich möchte mich bei euch noch bedanken für eure schnelle Hilfe :-)

Habe jetzt alles was ich brauche :-)

Vielen Dank^^

Lg

sylece
Bezug
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