Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Fr 04.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Sry, dass hier eigentlich nur drüberlesen lassen möchte, aber weiß nicht, an wen ich mich vor der Klausur sonst wenden soll. xD
Also, man soll den Konvergenzradius der Potenzreihe (ich lass das Summenzeichen weg):
[mm] (1+\bruch{1}{(n-1)!})^{n!} x^{n}
[/mm]
Der Entwicklungspunkt ist (nebenbei erwähnt) [mm] x_{0} [/mm] = 0
Ich habe jetzt die Formel von Cauchy-Hadamard angewandt:
[mm] \bruch{1}{1-lim sup \wurzel[n]{((1+\bruch{1}{(n-1)!})^{n!}}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1-lim sup ((1+\bruch{1}{(n-1)!})^{(n-1)!} }
[/mm]
//das n! wird zu (n-1)!
Ähm, ist jetzt der limes die Zahl e???
Dann wäre der Radius ja [mm] \bruch{1}{1-e}???
[/mm]
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Hallo Solrakt,
> Sry, dass hier eigentlich nur drüberlesen lassen möchte,
> aber weiß nicht, an wen ich mich vor der Klausur sonst
> wenden soll. xD
>
> Also, man soll den Konvergenzradius der Potenzreihe (ich
> lass das Summenzeichen weg):
>
> [mm](1+\bruch{1}{(n-1)!})^{n!} x^{n}[/mm]
>
> Der Entwicklungspunkt ist (nebenbei erwähnt) [mm]x_{0}[/mm] = 0
>
> Ich habe jetzt die Formel von Cauchy-Hadamard angewandt:
>
> [mm]\bruch{1}{1-lim sup \wurzel[n]{((1+\bruch{1}{(n-1)!})^{n!}}}[/mm]
Wo kommt die führende 1 vor dem [mm]\limsup[/mm] im Nenner her?
Der Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] berechnet sich doch als [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm]
wobei [mm]a_n=\left(1+\frac{1}{(n-1)!}\right)^{n!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{1-lim sup ((1+\bruch{1}{(n-1)!})^{(n-1)!} }[/mm]
>
> //das n! wird zu (n-1)!
>
> Ähm, ist jetzt der limes die Zahl e??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann wäre der Radius ja [mm]\bruch{1}{1-e}???[/mm]
Ohne die mysteriöse 1 ist es richtig!
Also [mm]\rho=\frac{1}{e}[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Fr 04.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Vielen Dank. Hmm..ich hatte irgendwie gedacht, dass da eine 1 vor dem limsup stand. War mir da irgendwie auch ziemlich sicher. Gut, dass ich das jetzt weiß, vor allem wegen der Klausur. Aber da ich den Konvergenzradius bestimmen soll, muss ich noch sagen, ob das für 1/e (also am Rand) auch konvergiert, oder? Wie macht man das denn? Ich glaube, dass die Reihe dann innerhalb des Radius abs. konvergiert und am Rand konvergiert, aber nicht unbedingt absolut, oder? Danke nochmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn nur nach dem Konvergenzradius gefragt ist, muss du nur den angeben. Wenn die Frage lautet: für welche x konv... dann musst du die 2 Randpunkte untersuchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok danke. Angenommen, ich müsste die beiden Randpunkte überprüfen. Wie mache ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Für x Randpunkt einsetzen und schauen ob die Reihe konvergiert oder divergiert
FRED
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> Hallo Solrakt,
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> > Sry, dass hier eigentlich nur drüberlesen lassen möchte,
> > aber weiß nicht, an wen ich mich vor der Klausur sonst
> > wenden soll. xD
> >
> > Also, man soll den Konvergenzradius der Potenzreihe (ich
> > lass das Summenzeichen weg):
> >
> > [mm](1+\bruch{1}{(n-1)!})^{n!} x^{n}[/mm]
> >
> > Der Entwicklungspunkt ist (nebenbei erwähnt) [mm]x_{0}[/mm] = 0
> >
> > Ich habe jetzt die Formel von Cauchy-Hadamard angewandt:
> >
> > [mm]\bruch{1}{1-lim sup \wurzel[n]{((1+\bruch{1}{(n-1)!})^{n!}}}[/mm]
>
> Wo kommt die führende 1 vor dem [mm]\limsup[/mm] im Nenner her?
>
> Der Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] berechnet sich doch als
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> wobei [mm]a_n=\left(1+\frac{1}{(n-1)!}\right)^{n!}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{1}{1-lim sup ((1+\bruch{1}{(n-1)!})^{(n-1)!} }[/mm]
> >
> > //das n! wird zu (n-1)!
warum ist das erlaubt?
[mm] \[{\left( \frac{1}{x}+1\right) }^{{x}^{2}}\]
[/mm]
divergiert ja auch?!
müsste man da nicht eher mit der stirling-formel ran?
> >
> > Ähm, ist jetzt der limes die Zahl e???
> >
> > Dann wäre der Radius ja [mm]\bruch{1}{1-e}???[/mm]
>
> Ohne die mysteriöse 1 ist es richtig!
>
> Also [mm]\rho=\frac{1}{e}[/mm]
>
> LG
>
> schachuzipus
>
gruß tee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (1+1/f(n))^f(n) f(n)\in \IN [/mm] ; f(n)=m f(n) gegen [mm] \infty [/mm] wenn n gegen [mm] \infty
[/mm]
deshalb
[mm] \limsup\limits_{n\to\infty}(1+1/f(n))^f(n) =\limsup\limits_{m\to\infty}(1+1/m)^m [/mm]
Gruss leduart
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