Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Fr 05.03.2010 | | Autor: | NooBPooB |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:]-1,\infty[->R [/mm] mit
f(x):=ln(x+1)
a)Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass
f^(n)(x)= (-1)^(n+1)* [mm] ((n-1)!/(x+1)^n
[/mm]
b)Stellen sie die TAYLOR-Reihe für f im Entwicklungspunkt x0=0 auf.
c)Berechnen Sie den Konvergenzradius R der zuvor aufgestellten Potenzreihe.
d)Untersuchen sie die Konvergenz der TAYLOR-Reihe im Punkt x=1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.Sodela :). Guten Tag liebes Forum. Bin gerade an der Klausurvorbereitung aber zerbreche mir immer wieder den Kopf über Induktionen und Potenzreihen.
Ich glaube die b) und die d) konnte ich richtig Lösen, wäre aber über eine Kontrolle auch sehr dankbar.
für die TAYLOR Reihe in x0 habe ich:
0+ (1/(x+1))*(x-0) = 1/(x+1)
Somit ergibt sich bei d) 1/2 für die Konvergenz der Reihe im Punkt x=1 oder nicht?
Ich habe die Aufgabe exakt abgetippt. Ist es nicht so, dass ich nur die Taylor-Reihe ersten grades aufstellen muss, wenn die Fragestellung so ist wie sie da steht? Somit müsste b) und d) ja richtig sein oder nicht?
Mit der Induktion komme ich garnicht klar, weiß auch garnicht wie ich da anfangen soll. Induktionen verwirren mich sogut wie immer.
Bei der Potzenreihe war ich mir bei der Aufgabenstellung nichteinmal sicher, von was für einer Reihe gesprochen wird? Die aufgestellte Taylor Reihe ist ja keine Potenzreihe... und das f^(n)(x) ja eigentlich auch nicht.
Habe einfach mal das f^(n)(x) genommen und anhand des Quotienten Kriteriums so gerechnet:(bin mir aber nicht sicher ob man das so machen kann)
[mm] (-1)^{n+1}*(n-1)!*(1/(x+1)^n) [/mm] Subst x+1=y
[mm] (-1)^{n+1}*(n-1)!*(1/y^n)
[/mm]
Dann:
(-1)^(n+1)*(n-1)!/
(-1)^(n+2)*(n!)
=(-1)^(n)*(-1)*(n-1)*n!/
(-1)^(n)*(-1)*(-1)*n! Alles kürzen was ging:
(n-1)/(-1) = -n+1
Resub: -n+1=x+1 --> x=-n
Somit wäre doch der Konvergenzraidus [n;-n] oder nicht?
Wo liegen meine Fehler. Stimmt überhaupt irgendetwas? Vielen dank für alle die mir helfen! :)
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Hallo!
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:]-1,\infty[->R[/mm] mit
> f(x):=ln(x+1)
>
> a)Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass
> f^(n)(x)= (-1)^(n+1)* [mm]((n-1)!/(x+1)^n[/mm]
>
> b)Stellen sie die TAYLOR-Reihe für f im Entwicklungspunkt
> x0=0 auf.
>
> c)Berechnen Sie den Konvergenzradius R der zuvor
> aufgestellten Potenzreihe.
>
> d)Untersuchen sie die Konvergenz der TAYLOR-Reihe im Punkt
> x=1
Hallo!
Tut mir leid, dir das sagen zu müssen, aber in deinem Post befindet sich bzgl. der Rechnungen kaum Brauchbares :-(
b)
Wenn nach einer Taylor-Reihe gesucht ist, ist eine (unendliche) Potenzreihe gesucht!
Eine Taylor-Reihe einer Funktion f um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] sieht so aus:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{k}(x_{0})}{k!}*(x-x_{0})^{k}$
[/mm]
Deswegen solltest du auch die k-te Ableitung bei a) berechnen bzw. beweisen, dass die angegebene stimmt!
Du brauchst sie ja beim Aufstellen der Taylor-Reihe.
> 0+ (1/(x+1))*(x-0) = 1/(x+1)
Das kann gar keine Taylor-Reihe sein, denn eine Taylor-Reihe muss ein "unendliches Polynom" sein. Bei dir ist x aber im Nenner!
> Ich habe die Aufgabe exakt abgetippt. Ist es nicht so, dass
> ich nur die Taylor-Reihe ersten grades aufstellen muss,
> wenn die Fragestellung so ist wie sie da steht? Somit
> müsste b) und d) ja richtig sein oder nicht?
Nein, gefordert ist, wenn "Reihe" gefordert ist, immer die gesamte Taylor-Reihe.
Zu c):
Berechne nun erstmal die Taylor-Reihe mit der obigen Formel.
Dann kennst du ja bestimmt Formeln, mit welchen man den Konvergenzradius berechnen kann.
(Ich komme auf "1" als Konvergenzradius!)
Zu a):
> Mit der Induktion komme ich garnicht klar, weiß auch
> garnicht wie ich da anfangen soll. Induktionen verwirren
> mich sogut wie immer.
$f(x) = [mm] \ln(x+1)$
[/mm]
Die zu überprüfende Formel ist:
[mm] $f^{n}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*\frac{(n-1)!}{(x+1)^{n}}$
[/mm]
Induktionsanfang bekommst du ja denk' ich hin, oder?
In die obere Formel n = 1 einsetzen. Sie liefert dann eine Aussage, wie [mm] f^{1} [/mm] = f', also die erste Ableitung aussieht.
Um zu überprüfen, ob die Formel da stimmt, musst du selbst f' berechnen, ausgehend von f oben, und dann mit der Formel vergleichen.
Induktionsschritt:
Du weißt nun, dass die Aussage für ein beliebiges, aber festes n gilt.
Du sollst zeigen, dass dann die Aussage auch für n+1 gilt.
Konkret: Du weißt nun, dass die n-te Ableitung die Form
[mm] $f^{n}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*\frac{(n-1)!}{(x+1)^{n}}$
[/mm]
hat. Du musst beweisen, dass die (n+1)-te Ableitung die Form
[mm] $f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{(n+1)+1}*\frac{((n-1)+1)!}{(x+1)^{n+1}}$
[/mm]
hat (in die obige Formel (n+1) statt n eingesetzt).
Was musst du wohl machen, um das zu beweisen?
Zu d):
Wie ich oben schon verraten habe (du aber trotzdem noch nachzurechnen hast), ist der Konvergenzradius der Potenzreihe 1. Das heißt wir wissen, dass die Reihe für alle [mm] |x-x_{0}| [/mm] = |x| < 1 konvergiert und für alle [mm] |x-x_{0}| [/mm] = |x| > 1 divergiert.
Über die "Randpunkte", also |x|=1, d.h. x = 1 und x = -1 können wir hingegen auch, wenn wir den Konvergenzradius kennen, nichts aussagen.
Deswegen sollst du hier konkret einmal überprüfen, was für x = 1 passiert, ob die Taylor-Reihe da divergiert oder konvergiert.
Setze dazu x = 1 in die Taylor-Reihe ein und überprüfe mit dir bekannten Kriterien zur Reihenkonvergenz, ob die Reihe konvergent ist!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 05.03.2010 | | Autor: | NooBPooB |
Achso. Ich hatte die Fragestellungen schon völlig missinterpretiert. Das da nichts anständiges rauskommen kann ist dann ja klar.
In meinem ersten Post ist ein kleiner Fehler. Ich hatte ja nur das Taylor-Polynom ersten grades ausgerechnet und das ist doch wirklich x/(x+1) oder nicht? Oh man... Reihen und Induktion sind echt nicht meine stärken. Ich weiß nicht wie ich dass noch anständig lernen soll...
Wie genau ich jetzt die Taylor-Reihe aufstellen soll verstehe ich leider immernoch nicht. Eine Taylor-Reihe ist doch wie bereits gesagt "unendlich" wie kann ich diese dann allgemein aufstellen?
Das wäre doch schon die Form die du vorgegeben hast oder nicht? Ohje, solangsam verzweifle ich :(
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Hallo,
> In meinem ersten Post ist ein kleiner Fehler. Ich hatte ja
> nur das Taylor-Polynom ersten grades ausgerechnet und das
> ist doch wirklich x/(x+1) oder nicht?
Nein. Das Taylor-Polynom ersten Grades hat die Form
[mm] $f(x_{0})+f'(x_{0})*(x-x_{0})$,
[/mm]
ist also eine lineare Funktion.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 07.03.2010 | | Autor: | NooBPooB |
Okay, danke für deine Bemühungen. Ich war an dem Tag wo ich die Frage gestellt habe wohl nicht allzu fit. Hatte am Tag davor wohl etwas zuviel getrunken ;).
Trotzdem verstehe ich nicht, wie ich den Konvergenzradius der Reihe ausrechnen soll...
Das Taylor-Polynom lautet ja:
f(x0)+f´(xo)-(x-xo)...
Also bei ln(x+1):
0+ 1(x-0)-1(x-0)²+ (f^(n)(0))/n!*(x-o)^(n)
also : x-x²/2+.....+ (f^(n)(0))/n!*(x)^(n)
Aber was setze ich jetzt für die n-te Ableitung ein, um den Konvergenzradius zu bestimmen?
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Hallo!
> Okay, danke für deine Bemühungen. Ich war an dem Tag wo
> ich die Frage gestellt habe wohl nicht allzu fit. Hatte am
> Tag davor wohl etwas zuviel getrunken ;).
Bist du dir sicher, dass das heute nicht auch so ist?
> Trotzdem verstehe ich nicht, wie ich den Konvergenzradius
> der Reihe ausrechnen soll...
>
> Das Taylor-Polynom lautet ja:
>
> f(x0)+f´(xo)-(x-xo)...
>
> Also bei ln(x+1):
>
> 0+ 1(x-0)-1(x-0)²+ (f^(n)(0))/n!*(x-o)^(n)
>
> also : x-x²/2+.....+ (f^(n)(0))/n!*(x)^(n)
>
> Aber was setze ich jetzt für die n-te Ableitung ein, um
> den Konvergenzradius zu bestimmen?
In a) ist dir doch die n-te Ableitung gegeben.
Ich hatte dir bereits die allgemeine Taylor-Reihe gegeben:
$f(x) [mm] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^{n}$
[/mm]
Um den Entwicklungspunkt [mm] $x_{0} [/mm] = 0$ lautet sie dann:
$f(x) [mm] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^{n}$.
[/mm]
Hier ist $f(x) = [mm] \ln(x+1)$, [/mm] und nach a) gilt:
$ [mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}\cdot{}\frac{(n-1)!}{(x+1)^{n}} [/mm] $.
Also ist
$ [mm] f^{n}(0) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}\cdot{}\frac{(n-1)!}{(0+1)^{n}} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*(n-1)!$.
[/mm]
Nun können wir unsere Erkenntnisse oben in die Taylor-Reihe einsetzen. Allerdings müssen wir beachten, dass der Summand n = 0 zunächst extra behandelt wird:
$f(x) =f(0) + [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^{n}$
[/mm]
$= [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}*(n-1)!}{n!}*x^{n}$
[/mm]
So, nun kürzen und Konvergenzradius bestimmen!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 So 07.03.2010 | | Autor: | NooBPooB |
> Bist du dir sicher, dass das heute nicht auch so ist?
Darf ich fragen warum du mich das fragst?
Ich hatte doch die Taylor Reihe richtig bestimmt.
Das was ich geschrieben habe :
x-x²/2+.....+ (f^(n)(0))/n!*(x)^(n)
entspricht doch dem was du gechrieben hast:
$ f(x) [mm] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^{n} [/mm] $
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Hallo,
> > Bist du dir sicher, dass das heute nicht auch so ist?
>
> Darf ich fragen warum du mich das fragst?
>
> Ich hatte doch die Taylor Reihe richtig bestimmt.
> Das was ich geschrieben habe :
>
> x-x²/2+.....+ (f^(n)(0))/n!*(x)^(n)
>
> entspricht doch dem was du gechrieben hast:
> [mm]f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^{n}[/mm]
War nicht bös' gemeint,
aber das sieht immer noch wenig nach einer Taylor-Reihe aus, was du da hingeschrieben hast. Die geht nämlich bis [mm] \infty, [/mm] deine geht nur bis n.
Außerdem ist es allgemein ungünstig, bei Reihen mit Punkten zu arbeiten. Der Leser weiß nicht, was dazwischen kommt!
Grüße,
Stefan
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