Konvergenzradius Komplex < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 Mi 25.04.2012 | | Autor: | dasd2516 |
| Aufgabe | Geben Sie Mittelpunkt und Radius des Konvergenzkreises an.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{2k+1}*(z-j)^{2k+1} [/mm] |
Hi,
mein Ansatz: (überall betragsstriche dazudenken)
Quotientenkriterium erstmal
[mm] \bruch{(-1)^{(k+1)}*(z-j)^{2(k+1)+1}}{2(k+1)+1}*\bruch{2k+1}{(-1)^k*(z-j)^{(2k+1)}}
[/mm]
gekürzt macht das
[mm] \bruch{(-1)*(z-j)^3*(2k+1)}{(2k+3)*(z-j)}
[/mm]
weiter kürzen
[mm] \bruch{(z-j)^2*(2k+1)}{2k+3}
[/mm]
also
[mm] (z-j)^2 [/mm] * [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2k+1}{2k+3}
[/mm]
[mm] (z-j)^2 [/mm] * 1
so jetzt weiter bin ich mir nicht mehr sicher
muss gelten [mm] |(z-j)^2|<1 [/mm] ????
falls ja, müsste es so weitergehen
[mm] |(z-j)|<\wurzel{1} [/mm] ????
hmm ich weiß nicht mehr weiter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie Mittelpunkt und Radius des Konvergenzkreises an.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{2k+1}*(z-j)^{2k+1}[/mm]
>
> Hi,
>
> mein Ansatz: (überall betragsstriche dazudenken)
die kannst Du auch dazuschreiben, etwa so [mm] $\left|\frac{1}{2}\right|\,.$ [/mm] Aber das nur nebenbei!
>
> Quotientenkriterium erstmal
>
> [mm]\bruch{(-1)^{(k+1)}*(z-j)^{2(k+1)+1}}{2(k+1)+1}*\bruch{2k+1}{(-1)^k*(z-j)^{(2k+1)}}[/mm]
>
> gekürzt macht das
>
> [mm]\bruch{(-1)*(z-j)^3*(2k+1)}{(2k+3)*(z-j)}[/mm]
>
> weiter kürzen
>
> [mm]\bruch{(z-j)^2*(2k+1)}{2k+3}[/mm]
>
> also
>
> [mm](z-j)^2[/mm] * [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2k+1}{2k+3}[/mm]
>
> [mm](z-j)^2[/mm] * 1
>
> so jetzt weiter bin ich mir nicht mehr sicher
>
> muss gelten [mm]|(z-j)^2|<1[/mm] ????
>
> falls ja, müsste es so weitergehen
>
> [mm]|(z-j)|<\wurzel{1}[/mm] ????
Und was ist [mm] $\sqrt{1}$? [/mm] Genau: [mm] $=1\,.$
[/mm]
> hmm ich weiß nicht mehr weiter
Ich hab's gerade auf die Schnelle nicht nachgerechnet, aber ich sehe direkt mit dem W-Kriterium, dass man
[mm] $$|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{|(-1)^k/(2k+1)|} [/mm] < 1$$
als Bedingung für Konvergenz, und
[mm] $$|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{|(-1)^k/(2k+1)|} [/mm] > 1$$
für Divergenz erhält (schneller geht das später, wenn Ihr Potenzreihen behandelt, dort lernt man, wie man deren Konvergenzradius berechnet - aber das fußt alles auf genau obigen Überlegungen, d.h. da passiert dann eigentlich nichts neues, sondern man schreibt es nur allgemein auf).
Der auftretende Limsup oben ist [mm] $=1\,.$ [/mm] (Das folgt aus der Tatsache [mm] $\sqrt[n]{n} \to 1\,,$ [/mm] dass Teilfolgen konvergenter Folgen gegen den gleichen Grenzwert wie die Folge selbst konvergieren und das im Falle der Konvergenz einer Folge deren Limsup mit dem Liminf und mit dem Lim zusammenfällt.)
Also wirst Du $|z-j| < [mm] 1\,$ [/mm] als Bedingung für Konvergenz und $|z-j| > 1$ für Divergenz haben.
Was ist denn nun der Mittelpunkt und was der Radius des (komplexen) Kreises [mm] $K=K_1(j):=\{z \in \IC: |z-\blue{\mathbf{j}}|<\red{1}\}$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
> >
> > [mm](z-j)^2[/mm] * 1
> >
> > so jetzt weiter bin ich mir nicht mehr sicher
Dies ist (bis auf die Beträge) richtig gerechnet. Das heißt, Du hast den Grenzwert der Quotienten bestimmt. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe, wenn dieser Grenzwert kleiner 1 ist und divergiert, wenn er größer 1 ist. Und das heißt, für [mm] $|z-j|^2 [/mm] < 1$ hast Du Konvergenz, für [mm] $|z-j|^2>1$ [/mm] Divergenz. Dies ist gleichbedeutend mit $|z-j| <1$ bzw. $|z-j|>1$. Damit ist der Konvergenzradius gleich 1.
> Ich hab's gerade auf die Schnelle nicht nachgerechnet, aber
> ich sehe direkt mit dem W-Kriterium, dass man
> [mm]|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{|(-1)^k/(2k+1)|} < 1[/mm]
Marcel, dies muß hier wohl
[mm]|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|(-1)^k/(2k+1)|} < 1[/mm]
heißen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:35 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > >
> > > [mm](z-j)^2[/mm] * 1
> > >
> > > so jetzt weiter bin ich mir nicht mehr sicher
>
> Dies ist (bis auf die Beträge) richtig gerechnet. Das
> heißt, Du hast den Grenzwert der Quotienten bestimmt. Nach
> dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe, wenn dieser
> Grenzwert kleiner 1 ist und divergiert, wenn er größer 1
> ist. Und das heißt, für [mm]|z-j|^2 < 1[/mm] hast Du Konvergenz,
> für [mm]|z-j|^2>1[/mm] Divergenz. Dies ist gleichbedeutend mit
> [mm]|z-j| <1[/mm] bzw. [mm]|z-j|>1[/mm]. Damit ist der Konvergenzradius
> gleich 1.
>
> > Ich hab's gerade auf die Schnelle nicht nachgerechnet, aber
> > ich sehe direkt mit dem W-Kriterium, dass man
> > [mm]|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{|(-1)^k/(2k+1)|} < 1[/mm]
>
> Marcel, dies muß hier wohl
>
> [mm]|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|(-1)^k/(2k+1)|} < 1[/mm]
>
> heißen.
muss es nicht, und zwar aus Gründen, die Du
hier (Klick!)
nachlesen kannst (ich hab' das mal "Methode der auffüllenden Nullen" genannt (siehe etwa hier) - Du kannst auch gerne weiter im Forum danach suchen).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:51 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Helbig |
Marcel, Du hast meine Korrektur abgelehnt:
> > Marcel, dies muß hier wohl
> >
> > [mm]|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|(-1)^k/(2k+1)|} < 1[/mm]
>
> >
> > heißen.
>
> muss es nicht, und zwar aus Gründen, die Du
Und Du hast recht. Ich übersah, daß wir es ja mit
[mm] $\sum_{k=0}^\infty\bruch {(-1)^k} [/mm] {2k+1} [mm] (z-j)^{2k+1}$ [/mm] zu tun haben und nicht mit:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty\bruch {(-1)^k} [/mm] {2k+1} [mm] (z-j)^k$
[/mm]
vielen Dank, das nächste mal werde ich besser aufpassen!
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 22:05 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Marcel, Du hast meine Korrektur abgelehnt:
>
> > > Marcel, dies muß hier wohl
> > >
> > > [mm]|z-j|\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|(-1)^k/(2k+1)|} < 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > heißen.
> >
> > muss es nicht, und zwar aus Gründen, die Du
>
> Und Du hast recht. Ich übersah, daß wir es ja mit
> [mm]\sum_{k=0}^\infty\bruch {(-1)^k} {2k+1} (z-j)^{2k+1}[/mm] zu
> tun haben und nicht mit:
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty\bruch {(-1)^k} {2k+1} (z-j)^k[/mm]
okay - ich hatte mich schon gewundert, denn soweit ich mich erinnere, hast Du selbst schonmal richtig bei ähnlichen Potenzreihendarstellungen argumentiert - glaube ich jedenfalls. Jedenfalls hätt's mich gewundert, wenn Dir das nicht klar gewesen wäre. Aber nun erklärt sich mir auch Dein Hinweis: Du hast einfach nicht genau bei den Exponenten aufgepasst.
> vielen Dank, das nächste mal werde ich besser aufpassen!
Kein Ding, ist ja keine Tragödie ^^ 
( Ich hab' da schon schlimmeren Unfug im Forum mal verzapft ^^ )
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 25.04.2012 | | Autor: | dasd2516 |
Danke für die Antworten.
[mm] z-z_o [/mm] = z-j
also ist der Mittelpunkt j und der Radius 1.
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antworten.
>
>
> [mm]z-z_o[/mm] = z-j
>
> also ist der Mittelpunkt j und der Radius 1.
>
> Richtig?
Ja
FRED
|
|
|
|
