Konvergenzradius, Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Fr 10.08.2012 | | Autor: | mathe456 |
Hallo,
ich habe Fragen zu folgenden zwei Aufgaben:
Sei [mm] f\in H(\IC [/mm] \ {0}) mit [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] = n für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Welchen Konvergenzradius hat die Potenzreihenentwicklung von f um den Punkt [mm] z_{0}=1+2i?
[/mm]
Lösung: Da f in [mm] \IC \{0} [/mm] holomorph ist, ist der Konvergenzradius von f um 1+2i mindestens |(1+2i) -0| = [mm] \wurzel{5}.
[/mm]
-----> Warum? Ist das der Konvergenzradius, wenn f nur in (1+2i) konv.?
Wäre der Konvergenzradius größer als [mm] \wurzel{5}, [/mm] so müsste die Funktion f im Punkt [mm] z_{0} [/mm] =0 eine hebbare Singularität haben.
----> warum ist das so? gibt es einen satz, in dem das steht oder wie kommt man darauf?
der rest der lösung ist mir dann klar...
Zweite Aufgabe: (D soll Einheitskreis sein)
Sei f [mm] \in [/mm] H(D). Zeige, dass die durch [mm] f_{n}(z) [/mm] := [mm] f((1-\bruch{1}{n})*z) [/mm] definierten Funktionen [mm] f_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] holomorph in D sind.
LSg: Für alle n [mm] \in \INund [/mm] alle z [mm] \in [/mm] D gilt |(1- [mm] \bruch{1}{n})z| [/mm] < (1- [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] <1. Daher holomorph.
Warum gilt das? es wurde also gezeigt dass [mm] f_{n} [/mm] beschränkt und daraus geschlossen dass [mm] f_{n} [/mm] holomorph?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Fr 10.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe Fragen zu folgenden zwei Aufgaben:
>
> Sei [mm]f\in H(\IC[/mm] \ {0}) mit [mm]f(\bruch{1}{n})[/mm] = n für alle n
> [mm]\in \IN.[/mm] Welchen Konvergenzradius hat die
> Potenzreihenentwicklung von f um den Punkt [mm]z_{0}=1+2i?[/mm]
>
> Lösung: Da f in [mm]\IC \{0}[/mm] holomorph ist, ist der
> Konvergenzradius von f um 1+2i mindestens |(1+2i) -0| =
> [mm]\wurzel{5}.[/mm]
> -----> Warum?
Das folgt aus folgendem Satz, den Ihr sicher hattet:
Satz: Ist G ein Gebiet in [mm] \IC [/mm] und f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph und [mm] z_0 [/mm] in G, so hat f die Potenzreihenentwicklung
f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] für [mm] |z-z_0|
wobei r=dist [mm] (\partial [/mm] G, [mm] z_0).
[/mm]
Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also [mm] \ge [/mm] r.
Bei Dir ist G= [mm] \IC [/mm] \ { 0 }, [mm] z_0=1+2i, [/mm] also [mm] \partial [/mm] G= { 0 } und r=dist [mm] (\partial [/mm] G, [mm] z_0)=|z_0|
[/mm]
> Ist das der Konvergenzradius, wenn f nur
> in (1+2i) konv.?
???
> Wäre der Konvergenzradius größer als [mm]\wurzel{5},[/mm] so
> müsste die Funktion f im Punkt [mm]z_{0}[/mm] =0 eine hebbare
> Singularität haben.
> ----> warum ist das so?
Wäre der Konvergenzradius größer als [mm]\wurzel{5},[/mm] , so wäre die Potenzreihe eine holomorphe Fortsetzung von f in [mm] z_0=0
[/mm]
> gibt es einen satz, in dem das
> steht oder wie kommt man darauf?
> der rest der lösung ist mir dann klar...
>
> Zweite Aufgabe: (D soll Einheitskreis sein)
> Sei f [mm]\in[/mm] H(D). Zeige, dass die durch [mm]f_{n}(z)[/mm] :=
> [mm]f((1-\bruch{1}{n})*z)[/mm] definierten Funktionen [mm]f_{n}[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN[/mm] holomorph in D sind.
>
> LSg: Für alle n [mm]\in \INund[/mm] alle z [mm]\in[/mm] D gilt |(1-
> [mm]\bruch{1}{n})z|[/mm] < (1- [mm]\bruch{1}{n})[/mm] <1. Daher holomorph.
> Warum gilt das? es wurde also gezeigt dass [mm]f_{n}[/mm]
> beschränkt
Das hat niemand gezeigt !
> und daraus geschlossen dass [mm]f_{n}[/mm] holomorph?
Nein.
Die Fkt. [mm] f_n [/mm] ist def. durch
(*) $ [mm] f_{n}(z) [/mm] $ := $ [mm] f((1-\bruch{1}{n})\cdot{}z) [/mm] $,
alo mit Hilfe der Funktion f, die aber nur auf D def. ist. Damit (*) sinnvoll ist, muß gezeigt werden, dass die Punkte [mm] (1-\bruch{1}{n})\cdot{}z) [/mm] für z [mm] \in [/mm] D wieder in D liegen.
Genau das wurde gemacht.
FRED
>
> Danke!
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