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| Aufgabe | z.z.: Ist [mm] (a_n)_{n \in \IN_0} [/mm] eine komplexe Zahlenfolge,für die der Grenzwert
Q:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ a_n \\ \overline{a_{n+1}} } \in \overline{\IR} [/mm]
(eigentlich oder uneigentlich) existiert (insbesondere [mm] a_n \not= [/mm] 0 für fast alle n), so ist Q gleich dem Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n. [/mm] |
Wie ich das genau zeige ist mir noch unklar.
Meine Überlegungen sind:
1. Q in verschiedene intervalle aufzuteilen (Q=0,0<Q<1, Q=1, Q>1, [mm] Q=\infty)
[/mm]
ist Q=0 , dann ist erstens lim [mm] |a_n| [/mm] = [mm] \infty [/mm] und zweitens muss [mm] |a_n| [/mm] schneller ansteigen als eine exponetialfunktion lim [mm] a^n [/mm] / [mm] a^{n+1} [/mm] =1/a [mm] \not=0.
[/mm]
also ist der Konvergentzradius von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] gleich 0.
ist 0<Q<1 , dann gibt es [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit: [mm] |a_{n+1}| >|a_n| [/mm] für alle n [mm] \ge n_0
[/mm]
da komm ich aber dann nicht mehr voran.
oder 2.)
ich betrachte mal [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{z^n}{z^{n+1}}= [/mm] 1/z
[mm] also:\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n z^n}{a_{n+1} z^{n+1}}|=Q [/mm] * |1/z|
ich weiß aber auch hier nicht wie mich das weiter bringen soll.
Ich hoffe mir kann jmd helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> z.z.: Ist [mm](a_n)_{n \in \IN_0}[/mm] eine komplexe
> Zahlenfolge,für die der Grenzwert
> Q:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ a_n \\ \overline{a_{n+1}} } \in \overline{\IR}[/mm]
> (eigentlich oder uneigentlich) existiert (insbesondere [mm]a_n \not=[/mm]
> 0 für fast alle n), so ist Q gleich dem Konvergenzradius
> von [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n.[/mm]
> Wie ich das genau zeige ist mir noch unklar.
>
> Meine Überlegungen sind:
> 1. Q in verschiedene intervalle aufzuteilen (Q=0,0<Q<1,
> Q=1, Q>1, [mm]Q=\infty)[/mm]
> ist Q=0 , dann ist erstens lim [mm]|a_n|[/mm] = [mm]\infty[/mm] und zweitens
> muss [mm]|a_n|[/mm] schneller ansteigen als eine exponetialfunktion
> lim [mm]a^n[/mm] / [mm]a^{n+1}[/mm] =1/a [mm]\not=0.[/mm]
> also ist der Konvergentzradius von
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm] gleich 0.
>
> ist 0<Q<1 , dann gibt es [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit: [mm]|a_{n+1}| >|a_n|[/mm]
> für alle n [mm]\ge n_0[/mm]
> da komm ich aber dann nicht mehr
> voran.
>
> oder 2.)
>
> ich betrachte mal
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{z^n}{z^{n+1}}=[/mm] 1/z
>
> [mm]also:\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n z^n}{a_{n+1} z^{n+1}}|=Q[/mm]
> * |1/z|
Schau Dir damit das Quotientenkriterium an.
Unterscheide die Fälle Q=0, Q= [mm] \infty [/mm] und 0<Q< [mm] \infty.
[/mm]
FRED
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> ich weiß aber auch hier nicht wie mich das weiter bringen
> soll.
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> Ich hoffe mir kann jmd helfen.
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Danke für die Antwort.
Hat aber ein etwas gedauert, bis ich dazu kam die Aufgabe zu bearbeiten.
Hier mein Lösungsversuch, ich hoffe es kann jmd drüber schauen.
(Voraussetzung ist ja in Aufgabenstellung gepostet)
1.Fall:Q=0 (hier war ich am unsichersten)
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Betrachte: |z|=0 [mm] \Rightarrow [/mm] z=0
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n =a_0 0^0= a_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] konvergiert
Betrachte: |z|>0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^n}|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1} }{a_{n}}z|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] |z|= [mm] \infty*|z| =\infty
[/mm]
die Folge der [mm] a_nz^n [/mm] ist keine Nullfolge [mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] divergiert
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 ist Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n
[/mm]
2.Fall: [mm] 0
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] =Q
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = 1/Q
Betrachte: 0<|z|<Q
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^n}|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1} }{a_{n}}z|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] |z|= [mm] \bruch{|z|}{Q}<1
[/mm]
mit Krit. von d'Alembert folgt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] konv. abs.
Betrachte: |z| > Q
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^n}|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1} }{a_{n}}z|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] |z|= [mm] \bruch{|z|}{Q} [/mm] > 1
mit Krit. von d'Alembert folgt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] divergiert
[mm] \Rightarrow [/mm] Q ist Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n
[/mm]
3.Fall: [mm] Q=\infty
[/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| =\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = 0
|z|< [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^n}|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1} }{a_{n}}z|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] |z|= [mm] \bruch{|z|}{\infty}=0
[/mm]
mit Krit. von d'Alembert folgt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] konv. abs. [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm]
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Wäre echt ne, wenn sich das mal jmd anschauen könnte.
Vielen Dank im voraus.
Gruß
ConstantinJ
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 22.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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