Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 04.10.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich hab die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n} [/mm] mit dem Quotientenkriterium untersucht ob sie für |x| <1 konvergiert.Als Grenzwert bekomme ich dann x also nehme ich an sie konvergiert.
In meinen Skript steht nun der Konvergenzradius r= [mm] \bruch{1}{lim (an+1)/an} [/mm] wenn der lim vom Quotientenkriterium reell und positiv ist.
Stimmt das?
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Hallo racy90,
> Hallo
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> Ich hab die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n}[/mm] mit
> dem Quotientenkriterium untersucht ob sie für |x| <1
> konvergiert.Als Grenzwert bekomme ich dann x
Hmm, ich komme mit dem QK auf [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^n}{n}}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=|x|[/mm]
Und gem. QK hat man Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm]
> also nehme ich
> an sie konvergiert.
>
> In meinen Skript steht nun der Konvergenzradius r=
> [mm]\bruch{1}{lim (an+1)/an}[/mm] wenn der lim vom
> Quotientenkriterium reell und positiv ist.
>
> Stimmt das?
Nun, du hast ja eine Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n[/mm] gegeben (hier mit [mm]x_0=0[/mm] und [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm]), da gibt es eigens Konvergenzkriterien, etwa Cauchy-Hadamard in Anlehnung an das Wurzelkriterium oder eben deine Formel, die du ja auch schreiben kannst als
[mm]\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
Die ist aber nur definiert, wenn der Nenner da nicht 0 ist ...
Üblicherweise nimmt man Cauchy-Hadamard her und berechnet [mm]\rho=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm], wobei man [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] und [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] setzt.
In beiden Fällen hast du Konvergenz für [mm]|x-x_0|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]|x-x_0|>\rho[/mm]
Wie es am "Rand" [mm]|x-x_0|=\rho[/mm] aussieht, ist noch zu untersuchen ...
Gruß
schachuzipus
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