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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mi 20.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechne den Konvergenzradius von:
[mm] $\frac{(-1)^n}{n^4 \cdot 2^{2n}}$ [/mm] |
$q = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^4 \cdot 2^{2(n+1)}}}{\frac{(-1)^n}{n^4 \cdot 2^{2n}}} [/mm] = ... = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)(-1)^n \cdot n^4 \cdot 2^{2n}}{(n+1)^4 \cdot 2^{2n} \cdot 4 \cdot (-1)^n} [/mm] = ... = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{-n^4}{(n+1)^4 \cdot 4}$
[/mm]
Meine Umformung scheint aber nicht richtig zu sein. Ich finde leider den Fehler nicht. Könnt ihr mir helfen?
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Hallo bandchef,
> Berechne den Konvergenzradius von:
>
> [mm]\frac{(-1)^n}{n^4 \cdot 2^{2n}}[/mm]
???????
Ich kenne den Begriff "Konvergenzradius" nur im Zusammenhang mit Reihen und nicht für einen Bruch ...
Wie lautet die Reihe?
So? [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^4\cdot{}2^{2n}}\cdot{}x^n[/mm] ?
>
> [mm]q = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^4 \cdot 2^{2(n+1)}}}{\frac{(-1)^n}{n^4 \cdot 2^{2n}}} = ... = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)(-1)^n \cdot n^4 \cdot 2^{2n}}{(n+1)^4 \cdot 2^{2n} \cdot 4 \cdot (-1)^n} = ... = \lim_{n \to \infty} \frac{-n^4}{(n+1)^4 \cdot 4}[/mm]
Zu berechnen ist ist der Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] für eine Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n[/mm] entweder durch [mm]\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm] oder nach Cauchy-Hadamard durch [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm]
Dann gibt's Konvergenz für [mm]|x-x_0|<\rho[/mm] und Divegenz für [mm]|x-x_0|>\rho[/mm]
Wo sind also die Beträge?
Du musst die Formeln lernen!! (oder nachschauen!)
>
> Meine Umformung scheint aber nicht richtig zu sein. Ich
> finde leider den Fehler nicht. Könnt ihr mir helfen?
Fehlen die Beträge, dann hast du auch kein Gewurschtel mit den [mm](-1)^{\text{irgendwas}}[/mm]-Dingern; der Rest stimmt, der GW oben ist dann [mm]\frac{1}{4}[/mm], der K-Radius ist also [mm]4[/mm]
Mit Cauchy-Hadamard geht's übrigens sehr sehr schnell!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mi 20.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Wir haben eine so genannte Quotientenmethode gelernt die so aussieht:
[mm] $q=\|\frac{a_{n+1}}{a_n} \|$
[/mm]
Wenn man dann das q berechnet hat, dann soll man den Radius mit [mm] $r=\frac{1}{q}$ [/mm] berechnen.
Das ist unsere Vorgabe vom Prof.
Mit Cauchy (Wurzelmethode) geht's so: $w = [mm] \sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
und dann wieder [mm] $r=\frac{1}{w}$
[/mm]
Ich kann nix dafür wenn wir das so machen sollen.
Die Reihe lautet in der Tat $ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^4\cdot{}2^{2n}}\cdot{}x^n [/mm] $ so, das war leider ein Flüchtigkeitsfehler genauso wie die fehlenden Beträge.
Wenn nun das stimmt $ q = ... = [mm] \lim_{n \to \infty} \| \frac{-n^4}{(n+1)^4 \cdot 4}\| [/mm] $, wie komm ich da dann auf [mm] $\frac{1}{4}$?
[/mm]
Das ist nun die zentrale Frage.
Ich hab's nun so versucht:
$ q = ... = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} \frac{n^4}{(n+1)^4 } [/mm] = ... =$
Gibts da jetzt keine andere Möglichkeit als das Binom ausmultiplizieren zu müssen?
Passt nun aber leider nicht mit deinem Ergebnis überein!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mi 20.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn nun das stimmt [mm]q = ... = \lim_{n \to \infty} \| \frac{-n^4}{(n+1)^4 \cdot 4}\| [/mm],
> wie komm ich da dann auf [mm]\frac{1}{4}[/mm]?
Es gibt viele Möglichkeiten. Wie bestimmst du denn Grenzwerte von Quotienten, wenn Zähler und Nenner beide gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen?
Dü könntest natürlich auch Zähler und Nenner durch [mm] $n^4$ [/mm] teilen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 20.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Wie bestimmst du denn Grenzwerte von Quotienten, wenn Zähler und Nenner beide gegen $ [mm] \infty [/mm] $ gehen?"
-> l'Hospital. Dürfen wir aber nicht.
Wenn ich Zähler und Nenner durch [mm] $n^4$ [/mm] teile, dann bekomm ich im Zähler 1 und im Nenner bekomm ich ja dann wieder [mm] $\frac{\infty}{\infty}$. [/mm] Das bringt mich ja dann auch nicht weiter...
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nein, du bekommst im nenner was anderes raus, das musst du einfach ausmultiplizieren. wenn dir das zu viel arbeit ist, überlege dir folgendes:
wie wird sich folgender bruch von polynomen in $n$ (also mit der variablen $n$) verhalten für $n [mm] \rightarrow \infty$:
[/mm]
[mm] \[\frac{a_k n^k+a_{k-1}n^{k-1}+....+a_1n^1+a_0}{b_k n^k+b_{k-1}n^{k-1}+...+b_1n^1+b_0}\,\,\, [/mm] für ein [mm] k\in\IN\]
[/mm]
Tipp: kürze mit [mm] $n^k$
[/mm]
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Hallo nochmal,
nicht ausmultiplizieren, sondern ausklammern!
Es ist [mm]\frac{n^4}{(n+1)^4}=\frac{n^4}{\left(n\cdot{}\left[1+\frac{1}{n}\right]\right)^4}=\frac{n^4}{n^4\cdot{}\left(1+1/n\right)^4}=\frac{1}{\left(1+1/n\right)^4}[/mm]
Und das strebt doch ersichtlich gegen [mm]1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] (Grenzwertsätze!!)
Gruß
schachuzipus
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