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| Aufgabe | | Für [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}x^n [/mm] bestimme man den Konvergenzradius. |
Für den Konvergenzradius gilt doch:
[mm] r=\limes_{n\to\infty}\left| \bruch{a_k}{a_k+1} \right|
[/mm]
Also für die obige Aufgabe:
[mm] r=\limes_{n\to\infty}\left| \bruch{\bruch{n^2}{2^n}*x^n}{\bruch{(n+1)^2}{2^{n+1}}*x^{n+1}}\right|
[/mm]
Dann hab ich das ganze umgeformt nach:
[mm] r=\limes_{n\to\infty}\left|\bruch{n^2*x^n*2^{n+^}}{2^n*(n+1)^2*x^{n+1}}\right|
[/mm]
Dann hab ich vereinfacht da [mm] x^{n+1}=x^n*x [/mm] konnte [mm] x^n [/mm] kürzen.
Anschließend habe ich [mm] 2^{n+1} [/mm] fgenauso aufgeteilt und [mm] 2^n [/mm] gekürzt sodass ich auf:
[mm] r=\limes_{n\to\infty}\left| \bruch{2n^2}{(n+1)^2*x}\right|
[/mm]
komme.
Ist der Rechenweg bis hierher richtig wie komm ich nun auf den Konvergenzradius ?
Danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]\summe_{n=1}^{infty} \bruch{n^2}{2^n}x^n[/mm] bestimme man
> den Konvergenzradius.
> Für den Konvergenzradius gilt doch:
>
> [mm]r=\limes{n\to\infty}\left| \bruch{a_k}{a_k+1} \right|[/mm]
Richtig: [mm]r=\limes{n\to\infty}\left| \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right|[/mm]
>
> Also für die obige Aufgabe:
>
> [mm]r=\limes{n\to\infty}\left| \bruch{\bruch{n^2}{2^n}*x^n}{\bruch{(n+1)^2}{2^{n+1}}*x^{n+1}}\right|[/mm]
Es ist noch: [mm] a_n= \bruch{n^2}{2^n} [/mm] !!!
Also weg die xe !!
>
> Dann hab ich das ganze umgeformt nach:
>
>
> [mm]r=\limes{n\to\infty}\left|\bruch{n^2*x^n*2^{n+^}}{2^n*(n+1)^2*x^{n+1}}\right|[/mm]
>
> Dann hab ich vereinfacht da [mm]x^{n+1}=x^n*x[/mm] konnte [mm]x^n[/mm]
> kürzen.
> Anschließend habe ich [mm]2^{n+1}[/mm] fgenauso aufgeteilt und [mm]2^n[/mm]
> gekürzt sodass ich auf:
>
>
> [mm]r=\limes{n\to\infty}\left| \bruch{2n^2}{(n+1)^2*x}\right|[/mm]
>
> komme.
nein: [mm]r=\limes{n\to\infty}\left| \bruch{2n^2}{(n+1)^2}\right|=2[/mm]
FRED
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> Ist der Rechenweg bis hierher richtig wie komm ich nun auf
> den Konvergenzradius ?
>
> Danke im Voraus
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Ich versteh jetz nich so ganz wie die xe wegkommen
Ich hab doch einmal [mm] x^n [/mm] und das andere mal [mm] x^{n+1}
[/mm]
da bleibt doch dann ein x über
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Lies Dir das
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
mal ganz genau durch
FRED
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Verstehe damit auch nich wieso auf einmal das x weg sein soll :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast die Potenzreihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}x^n [/mm] $
Die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] dieser Potenzreihe sind doch
[mm] $a_n= \bruch{n^2}{2^n}$
[/mm]
Kommt in diesen Koeffizienten ein x vor ?
FRED
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