Konvergenzradius < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Maste |
| Aufgabe | Bestimme den Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \vektor{kn \\ n}z^n [/mm] für k [mm] \in \IN [/mm] |
Für k=1 ist der Konvergenzradius klar r=1.
Für k [mm] \ge [/mm] 2 komme ich aber nicht weiter.
Offensichtlich ist [mm] a_n=\vektor{kn \\ n}
[/mm]
Quotientenkriterium
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| =\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{kn+k \\ n+1}}=\bruch{(kn)!}{n! (kn-n)!}*\bruch{(n+1)! (kn+k-n)!}{(kn+k)!}
[/mm]
Laut Skript soll die Lösung [mm] r=\bruch{(k-1)^{k-1}}{k^k} [/mm] sein.
Wie kommt man auf diese Lösung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme den Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \vektor{kn \\ n}z^n[/mm] für k [mm]\in \IN[/mm]
der Laufindex sollte n heißen, nicht [mm] $\red{i}$.
[/mm]
>
> Für k=1 ist der Konvergenzradius klar r=1.
>
> Für k [mm]\ge[/mm] 2 komme ich aber nicht weiter.
>
> Offensichtlich ist [mm]a_n=\vektor{kn \\ n}[/mm]
>
> Quotientenkriterium
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| =\red{\lim_{n \to \infty}}\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{kn+k \\ n+1}}=\red{\lim_{n \to \infty}}\bruch{(kn)!}{n! (kn-n)!}*\bruch{(n+1)! (kn+k-n)!}{(kn+k)!}[/mm]
>
> Laut Skript soll die Lösung [mm]r=\bruch{(k-1)^{k-1}}{k^k}[/mm]
> sein.
> Wie kommt man auf diese Lösung?
ich hab's nicht durchgerechnet, aber es gibt da doch offensichtlich "zusammenhängende" Terme:
[mm] $$(n+1)!=(n+1)*n!\,.$$
[/mm]
[mm] $$(kn)!/(kn+k)!=\frac{\produkt_{m=1}^{kn}m }{\produkt_{m=1}^{kn+k}m}=\frac{1}{\produkt_{m=kn+1}^{kn+k}m}$$
[/mm]
und im Nenner stehen nur noch $kn+k-kn=k$ Faktoren (also, da unabhängig von [mm] $n\,$, [/mm] nur noch ein "endliches Produkt").
Suche nach solchen Zusammenhängen, dann läßt sich irgendwann das ganze auf "Rechenregeln für (endlich viele) konvergente Folgen" zurückführen. Beachte dabei, dass [mm] $k\,$ [/mm] ein Parameter ist, d.h., zwar einmal frei wählbar, aber wenn gewählt, dann wird [mm] $k\,$ [/mm] festgehalten und als konstant angesehen (im Gegensatz z.B. zu [mm] $n\,$).
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mo 12.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe noch bemerkt, dass du einen Flüchtigkeitsfehler hast, so wie hier ists jetzt richtig (ein minus 1 fehlte):
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| =\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{kn+k \\ n+1}}=\bruch{(kn)!}{n! (kn-n)!}\cdot{}\bruch{(n+1)! (kn+k- n -1 )!}{(kn+k)!}
[/mm]
(kn+k -n -1 )! anstelle von (kn+k- n)!
Das ist alles von meiner Seite.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe noch bemerkt, dass du einen Flüchtigkeitsfehler
> hast, so wie hier ists jetzt richtig (ein minus 1 fehlte):
ich habe Deine Korrektur jetzt nicht kontrolliert (ich vertraue einfach darauf, dass Du da schon Recht haben wirst), aber auch da muss man den "Limes mitziehen":
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| =\red{\limes_{n\rightarrow\infty}}\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{kn+k \\ n+1}}=\red{\limes_{n\rightarrow\infty}}\bruch{(kn)!}{n! (kn-n)!}\cdot{}\bruch{(n+1)! (kn+k- n -1 )!}{(kn+k)!}[/mm]
>
> (kn+k -n -1 )! anstelle von (kn+k- n)!
>
>
>
> Das ist alles von meiner Seite.
>
> Gruss
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Mo 12.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Jo, stimmt...
...Ich hab mich da dann noch kurz gefragt wies denn weiter geht, wie den das n verschwinden soll und gar nicht bemerkt das der Limes fehlt.
Gruss Qsxqsx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Maste |
Danke für die Hinweise (und das bei diesen Temperaturen)!
Dann probier ich es mal weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(kn)!}{n! (kn-n)!}\cdot{}\bruch{(n+1)! (kn+k- n -1 )!}{(kn+k)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)!*(kn)!*(kn-n+k-1)!}{n!*(kn+k)!*(kn-n)!}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)*\frac{\produkt_{m=1}^{kn}m }{\produkt_{m=1}^{kn+k}m}*\frac{\produkt_{m=1}^{kn-n+k-1}m }{\produkt_{m=1}^{kn-n}m}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)*\frac{\produkt_{m=kn-n+1}^{kn-n+k-1}m}{\produkt_{m=kn+1}^{kn+k}m}=\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)*\frac{\produkt_{m=kn-n+1}^{kn-n+k-1}m}{k(n+1)*\produkt_{m=kn+1}^{kn+k-1}m}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{k}*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\produkt_{m=kn+1-n}^{kn+k-1-n}m}{\produkt_{m=kn+1}^{kn+k-1}m}
[/mm]
An der Stelle hakts bei mir.. Irgendwie muss ich da sukzessive im Nenner den Faktor k aus dem Grenzwert rausziehen. Beide Produkte haben (k-1) Faktoren und irgendwie muss ich da nach und nach k's aus dem Produkt rausziehen.
Ich sehe gerade aber einfach nicht, wie ich mit diesen Produkten weiterrechnen kann!
Vielleicht ist es heute auch einfach nur zu heiß für Mathe ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Hinweise (und das bei diesen Temperaturen)!
> Dann probier ich es mal weiter:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(kn)!}{n! (kn-n)!}\cdot{}\bruch{(n+1)! (kn+k- n -1 )!}{(kn+k)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)!*(kn)!*(kn-n+k-1)!}{n!*(kn+k)!*(kn-n)!}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)*\frac{\produkt_{m=1}^{kn}m }{\produkt_{m=1}^{kn+k}m}*\frac{\produkt_{m=1}^{kn-n+k-1} }{\produkt_{m=1}^{kn-n}m}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)*\frac{\produkt_{m=kn-n+1}^{kn-n+k-1}m}{\produkt_{m=kn+1}^{kn+k}m}=\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)*\frac{\produkt_{m=kn-n+1}^{kn-n+k-1}m}{k(n+1)*\produkt_{m=kn+1}^{kn+k-1}m}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{k}*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\produkt_{m=kn+1-n}^{kn+k-1-n}m}{\produkt_{m=kn+1}^{kn+k-1}m}[/mm]
>
>
> An der Stelle hakts bei mir.. Irgendwie muss ich da
> sukzessive im Nenner den Faktor k aus dem Grenzwert
> rausziehen. Beide Produkte haben (k-1) Faktoren und
> irgendwie muss ich da nach und nach k's aus dem Produkt
> rausziehen.
> Ich sehe gerade aber einfach nicht, wie ich mit diesen
> Produkten weiterrechnen kann!
>
> Vielleicht ist es heute auch einfach nur zu heiß für
> Mathe ;)
die Rechnung scheint mir soweit in Ordnung zu sein. Jetzt zwei Dinge:
Im Zähler stehen $kn+k-n-1-(kn-n)=k-1$ und im Nenner stehen auch $k-1=kn+k-1-kn$ Faktoren.
Machen wir einen Indexshift im Zähler [mm] $p=m+n-kn\,$ [/mm] und [mm] $q=m-kn\,$ [/mm] so steht da doch (den Limes schleppe ich jetzt noch nicht mit)
[mm] $$(\*)\;\;\;\frac{1}{k}*\frac{\produkt_{p=1}^{k-1}(p+kn-n)}{\produkt_{q=1}^{k-1}(q+kn)}=\frac{1}{k}*\produkt_{p=1}^{k-1}\frac{p+kn-n}{p+kn}=\frac{1}{k}*\produkt_{p=1}^{k-1}\left(1-\frac{1}{\frac{p+kn}{n}}\right)\,.$$
[/mm]
Dort steht also ein Produkt aus [mm] $k\,$ [/mm] Folgen, wobei die erste Folge "harmlos" ist:
Die konstante Folge [mm] $(a^{(0)}_n)_{n \in \IN}:\equiv(1/k)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert natürlich gegen $1/k$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Weiter:
Für jedes $p [mm] \in \{1,\ldots,k-1\}$ [/mm] (beachte: die Anzahl der Elemente dieser Menge ist [mm] $k-1\,,$ [/mm] also unabhängig von [mm] $n\,$) [/mm] ist nun noch die Frage, ob, und wenn ja, wogegen dann
[mm] $$(a^{(p)})_{n \in \IN}\equiv\left(1-\frac{1}{\frac{p+kn}{n}}\right)_{n \in \IN}$$
[/mm]
konvergiert.
Schließlich, wenn wir die Konvergenz all dieser Folgen begründet und deren jeweiligen Grenzwert errechnet haben (was hier gleichzeitig geht; "Rechenregeln für konvergente Folgen!") folgt, dass der gesuchte Limes
[mm] $$=\frac{1}{k}*\lim_{n \to \infty} \produkt_{p=1}^{k-1}a^{(p)}_n=\frac{1}{k}*\produkt_{p=1}^{k-1}\lim_{n \to \infty}a^{(p)}_n$$
[/mm]
ist, da das Produkt von [mm] $k-1\,$ [/mm] konvergenten Folgen gegen das Produkt der Grenzwerte dieser [mm] $k-1\,$ [/mm] Folgen konvergiert.
Ich erhalte
[mm] $$a^{(p)}_n \to 1\;-\;1/k=\frac{k-1}{k}\;\;(n \to \infty)\,.$$
[/mm]
Damit ergibt sich der von Dir behauptete Grenzwert.
WICHTIG!
Es war zwar keine Absicht, aber mir ist aufgefallen, dass ich hier "zu kompliziert" gerechnet habe bzw. ein wenig umständlich. Der Vorteil davon ist aber:
Jetzt kannst Du selber und ein wenig einfacher rechnen. Dies machst Du so, indem Du in [mm] $(\*)$, [/mm] bei dem Ausdruck hinter dem ersten Gleichheitszeichen, im Zähler und Nenner [mm] $n\,$ [/mm] vorklammerst (was sich dann wegkürzt). Weiter geht's dann aber analog zu oben ("Rechenregeln für konvergente Folgen") bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Maste |
Tausend Dank! Der Groschen ist gefallen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:03 Di 13.07.2010 | | Autor: | Marcel |
> Tausend Dank! Der Groschen ist gefallen!
Gern geschehen. Ich musste aber auch ein wenig länger dran rumrechnen; also schieben wir's auf die Hitze 
Beste Grüße,
Marcel
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