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| Aufgabe | Die Taylorreihe an der Stelle x=0 der funktion y(x)=sin(m*arcsin(x)) ist gegeben durch
[mm] y(x)=m*x+m*(1-m^2)*\bruch{x^3}{3!}+m*(1-m^2)*(9-m^2)*\bruch{x^5}{5!}+...
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert. |
Hi,
also ich würde dafür das quotientenkriterium nutzen.
Als Zusatz:
Die n'te Ableitung ist gegeben durch:
[mm] (1-x^2)*y^{(n+2)}-(2n+1)*x*y^{(n+1)}+(m^2-n^2)*y^{(n)}=0
[/mm]
an der Stelle x=0 ergibt sich also:
[mm] y^{(n+2)}(0)=(n^2-m^2)*y^{(n)}(0)
[/mm]
So steht es auch in der Lösung, allerdings scheiters es bei mir an der umsetzung. Ich weiß nicht so recht, wie ich es alles zusammenbringe. Zu bestimmen wäre ja:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|
[/mm]
In meiner Lösung sagt es nun:
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{y^{(n)}(0)*(n+2)!}{y^{(n+2)}(0)*n!}\right)
[/mm]
Darauf komme ich irgendwie überhaupt nicht...
Kann mir jemand die Tomaten von den Augen nehmen ?
Lg,
exe
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Hallo eXeQteR,
> Die Taylorreihe an der Stelle x=0 der funktion
> y(x)=sin(m*arcsin(x)) ist gegeben durch
>
> [mm]y(x)=m*x+m*(1-m^2)*\bruch{x^3}{3!}+m*(1-m^2)*(9-m^2)*\bruch{x^5}{5!}+...[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert.
> Hi,
>
> also ich würde dafür das quotientenkriterium nutzen.
>
> Als Zusatz:
>
> Die n'te Ableitung ist gegeben durch:
>
> [mm](1-x^2)*y^{(n+2)}-(2n+1)*x*y^{(n+1)}+(m^2-n^2)*y^{(n)}=0[/mm]
>
> an der Stelle x=0 ergibt sich also:
>
> [mm]y^{(n+2)}(0)=(n^2-m^2)*y^{(n)}(0)[/mm]
>
> So steht es auch in der Lösung, allerdings scheiters es
> bei mir an der umsetzung. Ich weiß nicht so recht, wie ich
> es alles zusammenbringe. Zu bestimmen wäre ja:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
>
> In meiner Lösung sagt es nun:
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{y^{(n)}(0)*(n+2)!}{y^{(n+2)}(0)*n!}\right)[/mm]
>
> Darauf komme ich irgendwie überhaupt nicht...
Die Taylorreihe ist gegeben durch
[mm]y\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}{y^{ \left(k\right)}\left(0\right)}*\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
Da [mm]y^{ \left(k\right)}\left(0\right)=0[/mm] für k gerade, ergibt sich:
[mm]y\left(x\right)=\summe_{l=0}^{\infty}{y^{ \left(2l+1\right)}\left(0\right)}*\bruch{x^{2l+1}}{\left(2l+1\right)!}[/mm]
[mm]=x*\summe_{l=0}^{\infty}{y^{ \left(2l+1\right)}\left(0\right)}*\bruch{x^{2l}}{\left(2l+1\right)!}[/mm]
[mm]=x*\summe_{l=0}^{\infty}{y^{ \left(2l+1\right)}\left(0\right)}*\bruch{\left(x^{2}\right)^{l}}{\left(2l+1\right)!}[/mm]
Woraus sich jetzt die Glieder der Reihe, wie folgt ergeben:
[mm]a_{l}=\bruch{y^{ \left(2l+1\right)}\left(0\right)}{\left(2l+1\right)!}[/mm]
Dann ist
[mm]R=\limes_{l\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{a_{l}}{a_{l+1}}}[/mm]
Die Reihe konvergiert dann für [mm]x^{2} < R[/mm].
>
> Kann mir jemand die Tomaten von den Augen nehmen ?
>
> Lg,
>
> exe
Gruss
MathePower
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