Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Bestimmen sie den KOnvergenzradius der Potenzreihen
a) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{x_n}{2^{\wurzel{n}}}
[/mm]
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Hallo!
der Konvergenzradius kann ja über 2 Varianten bestimmt werden:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
oder
[mm] r=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} |\wurzel[n]{a_n}|}
[/mm]
für a hab ich es mit der ersten Methode probiert und kam auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{\wurzel{n+1}}}{2^{\wurzel{n}}}
[/mm]
leider weiss ich da nun nicht weiter.
mit der anderen methode steh ich vor dem gleichen Problem:
da steht dann da
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{2^{\wurzel{n}}}}
[/mm]
was vereinfacht ergibt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2^{-\bruch{\wurzel{n}}{n}}
[/mm]
weiss nichtgenau, ob ich das richtig umgeformt habe, aber das wäre ja dann null, oder?
danke fürs drüberschauen und für tips.
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Hallo Katja!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{\wurzel{n+1}}}{2^{\wurzel{n}}}[/mm]
Gemäß  Potenzgesetzen kann man nun umformen zu:
[mm] $$2^{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}$$
[/mm]
Dafür musst Du nun folgenden Grenzwert bestimmen:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left( \ \wurzel{n+1}-\wurzel{n} \ \right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
habe nun deinen ansatz weiterverfolgt, und mit
[mm] \wurzel{n-1}+ \wurzel{n} [/mm] erweitert
und komme dann auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{\wurzel{n}*(\bruch{\wurzel{n-1}}{\wurzel{n}}+1)} [/mm] = 0
stimmt das dann so?
danke!
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Hallo Katja,
> habe nun deinen ansatz weiterverfolgt, und mit
>
> [mm] \wurzel{n\red{-}1}+ \wurzel{n}$ [/mm] erweitert ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Oben steht in der Wurzel ein Plus ..
>
> und komme dann auf
>
> [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\red{-}1}{\wurzel{n}*(\bruch{\wurzel{n\red{-}1}}{\wurzel{n}}+1)}= [/mm] 0$
Achtung, das rote Minus ist in Wirklichkeit ein Plus
>
> stimmt das dann so?
Soweit ja, aber du bist ja noch nicht ganz fertig.
Damit ist der Konvergenzradius dann ....
>
> danke!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm
r= 0 das heisst der Konvergenzradius ist null,
daher existiert kein
[mm] |x-x_o| [/mm] < 0 und daher ist die Reihe nicht konvergent.
oder meintest du was anderes?
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Hallo nochmal,
> hm
>
> r= 0 das heisst der Konvergenzradius ist null, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> daher existiert kein
>
> [mm]|x-x_o|[/mm] < 0 und daher ist die Reihe nicht konvergent.
>
> oder meintest du was anderes?
Ja, meinte ich.
Der Konvergenzradius war doch - wenn ich das richtig sehe - [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\red{2}^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
[/mm]
Der Limes für den Exponenten gibt zwar 0, das ist richtig, aber [mm] $2^{\text{Gedöhns}}$ [/mm] strebt doch dann gegen [mm] $2^0=1$
[/mm]
Also Konvergenzradius r=1
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hallo nochmal,
aeh ja das stimmt.
hab total den zusammenhang vergessen!
danke
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