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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
1. [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{n!}{n^{n}} x^{2n}
[/mm]
Lösung (laut Lösungsblatt): R = [mm] \wurzel{e} [/mm] |
Hallo,
seit ein paar Stunden hänge ich an dieser Aufgabe. - Mein Problem ist, dass ich hier das Quotientenkriterium anwende, aber nicht auf die Lösung komme und ich nun nicht weiß, ob ich zu blöd bin oder die Musterlösung falsch ist.
Also los gehts:
[mm] \left| \bruch{a_{n+1} }{a_{n} } \right| [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}*\bruch{(n^{n})}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)*n!} [/mm] = [mm] \bruch{n!*n^{n}}{(n+1)^{n}*n!} [/mm] = [mm] \bruch{n^{n}} {(n+1)^{n}} [/mm] = [mm] \left(\bruch{n}{(n+1)} \right)^{n} [/mm] = [mm] \left( \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \right)^{n}
[/mm]
und hier fängt es jetzt dann langsam aber sicher an zu klappern.
Wenn ich mich recht erinnere ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n} [/mm] = e - und das scheint ja hier auch irgendwie angewendet worden zu sein, da ich ja dann im Ergebnis
[mm] q=\bruch{1}{e} [/mm] erhalte, welches aufgrund des [mm] x^{2n} [/mm] noch eine Wurzel erhält und somit zum Konvergenzradius [mm] \wurzel{e} [/mm] komme.
Wie funktioniert nun aber der Schritt von [mm] \left( \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \right)^{n} [/mm] nach e?
Vielen Dank, wenn Ihr Euch die Mühe macht, mich hier kurz aufzuhellen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo LeereDose,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihen:
> 1. [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{n!}{n^{n}} x^{2n}[/mm]
>
> Lösung (laut Lösungsblatt): R = [mm]\wurzel{e}[/mm]
> Hallo,
> seit ein paar Stunden hänge ich an dieser Aufgabe. - Mein
> Problem ist, dass ich hier das Quotientenkriterium anwende,
> aber nicht auf die Lösung komme und ich nun nicht weiß,
> ob ich zu blöd bin oder die Musterlösung falsch ist.
>
> Also los gehts:
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1} }{a_{n} } \right|[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}*\bruch{(n^{n})}{n!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)*n!}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!*n^{n}}{(n+1)^{n}*n!}[/mm] = [mm]\bruch{n^{n}} {(n+1)^{n}}[/mm]
> = [mm]\left(\bruch{n}{(n+1)} \right)^{n}[/mm] = [mm]\left( \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \right)^{n}[/mm]
>
> und hier fängt es jetzt dann langsam aber sicher an zu
> klappern.
>
> Wenn ich mich recht erinnere ist ja
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n}[/mm]
> = e - und das scheint ja hier auch irgendwie angewendet
> worden zu sein, da ich ja dann im Ergebnis
> [mm]q=\bruch{1}{e}[/mm] erhalte, welches aufgrund des [mm]x^{2n}[/mm] noch
> eine Wurzel erhält und somit zum Konvergenzradius
> [mm]\wurzel{e}[/mm] komme.
>
> Wie funktioniert nun aber der Schritt von [mm]\left( \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \right)^{n}[/mm]
> nach e?
Betrachte zwei aufeinander Glieder der Potenzreihe.
Hier hast Du herausbekommen, daß die Potenzreihe konvergiert, wenn
[mm]\left( \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \right)^{n}*x^{2} < 1[/mm]
[mm]\Rightarrow x^{2} < \left(1+\bruch{1}{n}}\right)^{n}[/mm]
Jetzt macht man den Grenzübergang für [mm]n \to \infty[/mm]
Somit erhält man:
[mm]x^{2} < \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{1}{n}}\right)^{n}[/mm]
Das heisst, die obige Potenzreihe konvergiert dann für
[mm]x^{2} < \operatorname{e}[/mm]
Somit ist der Konvergenzradius [mm]R=\wurzel{\operatorname{e}}[/mm]
>
> Vielen Dank, wenn Ihr Euch die Mühe macht, mich hier kurz
> aufzuhellen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
Danke für die schnelle Antwort. - Allerdings bin ich im Moment ein wenig verwirrt, da bei uns in der Vorlesung der Konvergenzradius als [mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right| [/mm] definiert wurde und ich demnach ja wieder [mm] \bruch{1}{\wurzel{e}} [/mm] als Konvergenzradius erhalten müsste.
Wende ich nämlich Deine Vorgehensweise auf [mm] \bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}*x^{n} [/mm] an, so würde ich [mm] x^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{e} [/mm] erhalten und daraus würde der Konvergenzradius [mm] R=\bruch{1}{e} [/mm] folgen. - Laut der Musterlösung müsste der Radius aber e sein.
Btw.: Weiß jemand zufälligerweise, wie man einen Konvergenzradius mit Maple/Mathematica etc. numerisch ausrechnen kann, damit ich mich selbst bzw. die Validität der Musterlösungen überprüfen kann? - Ich hatte mit Google das hier https://matheraum.de/forum/Konvergenzradius_Maple/t50301 gefunden, aber irgendwie zeigt mit Maple nur die Sache an, anstelle sie auszurechnen. :(
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Hallo LeereDose,
> Hallo MathePower,
>
> Danke für die schnelle Antwort. - Allerdings bin ich im
> Moment ein wenig verwirrt, da bei uns in der Vorlesung der
> Konvergenzradius als
> [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|[/mm]
> definiert wurde und ich demnach ja wieder
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{e}}[/mm] als Konvergenzradius erhalten
> müsste.
r ist doch hier der Konvergenzradius, dann stimmt das auch:
[mm]\bruch{1}{r}=\bruch{1}{\wurzel{e}} \Rightarrow r = \wurzel{e}[/mm]
>
> Wende ich nämlich Deine Vorgehensweise auf
> [mm]\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}*x^{n}[/mm]
> an, so würde ich [mm]x^{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{e}[/mm] erhalten und daraus
> würde der Konvergenzradius [mm]R=\bruch{1}{e}[/mm] folgen. - Laut
> der Musterlösung müsste der Radius aber e sein.
Poste hier mal die Rechenschritte.
>
> Btw.: Weiß jemand zufälligerweise, wie man einen
> Konvergenzradius mit Maple/Mathematica etc. numerisch
> ausrechnen kann, damit ich mich selbst bzw. die Validität
> der Musterlösungen überprüfen kann? - Ich hatte mit
> Google das hier
> https://matheraum.de/forum/Konvergenzradius_Maple/t50301
> gefunden, aber irgendwie zeigt mit Maple nur die Sache an,
> anstelle sie auszurechnen. :(
Gruss
MathePower
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> Hallo LeereDose,
>
> > Hallo MathePower,
> >
> > Danke für die schnelle Antwort. - Allerdings bin ich im
> > Moment ein wenig verwirrt, da bei uns in der Vorlesung der
> > Konvergenzradius als
> > [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|[/mm]
> > definiert wurde und ich demnach ja wieder
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{e}}[/mm] als Konvergenzradius erhalten
> > müsste.
>
>
> r ist doch hier der Konvergenzradius, dann stimmt das
> auch:
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\bruch{1}{\wurzel{e}} \Rightarrow r = \wurzel{e}[/mm]
Naja, es war ja definiert, dass [mm]\bruch{1}{r} = \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|[/mm]
Demnach ist die Abschätzung [mm]x^{2} < \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{1}{n}}\right)^{n} = \bruch {1}{r}[/mm] und somit wäre der Konvergenzradius [mm]r = \bruch {1}{e}[/mm] (bzw. halt dann wegen dem [mm] x^{2n} [/mm] noch mit der Wurzel.
> > Wende ich nämlich Deine Vorgehensweise auf
> > [mm]\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}*x^{n}[/mm]
> > an, so würde ich [mm]x^{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{e}[/mm] erhalten und daraus
> > würde der Konvergenzradius [mm]r=e[/mm] folgen. - Laut
> > der Musterlösung müsste der Radius aber [mm]\bruch{1}{e}[/mm] sein.
>
>
> Poste hier mal die Rechenschritte.
Also:
Potenzreihe gegeben durch [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}*x^{n}[/mm]
Hier bietet sich aus meiner Sicht das Wurzelkriterium an, also [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}}*x=\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n}*x<1 \Rightarrow x<\bruch{1}{\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}... \Rightarrow \bruch{1}{1*e}=\bruch{1}{r}[/mm]
Hiermit wäre ja dann r=e. (Sorry, ich glaube, dass ich es im vorigen Beispiel vertauscht hatte - also dort, wo ich geschrieben habe, dass ich [mm]r=\bruch{1}{e}[/mm] heraus habe, es aber r=e sein müsste)
(Laut der Lösung müsste [mm]r=\bruch{1}{e}[/mm] sein.)
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Hallo LeereDose,
> > Hallo LeereDose,
> >
> > > Hallo MathePower,
> > >
> > > Danke für die schnelle Antwort. - Allerdings bin ich im
> > > Moment ein wenig verwirrt, da bei uns in der Vorlesung der
> > > Konvergenzradius als
> > > [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|[/mm]
> > > definiert wurde und ich demnach ja wieder
> > > [mm]\bruch{1}{\wurzel{e}}[/mm] als Konvergenzradius erhalten
> > > müsste.
> >
> >
> > r ist doch hier der Konvergenzradius, dann stimmt das
> > auch:
> >
> > [mm]\bruch{1}{r}=\bruch{1}{\wurzel{e}} \Rightarrow r = \wurzel{e}[/mm]
>
> Naja, es war ja definiert, dass [mm]\bruch{1}{r} = \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|[/mm]
Daher ist
[mm]r=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|}=\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|[/mm]
>
> Demnach ist die Abschätzung [mm]x^{2} < \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{1}{n}}\right)^{n} = \bruch {1}{r}[/mm]
> und somit wäre der Konvergenzradius [mm]r = \bruch {1}{e}[/mm]
> (bzw. halt dann wegen dem [mm]x^{2n}[/mm] noch mit der Wurzel.
>
> > > Wende ich nämlich Deine Vorgehensweise auf
> > > [mm]\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}*x^{n}[/mm]
> > > an, so würde ich [mm]x^{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{e}[/mm] erhalten und daraus
> > > würde der Konvergenzradius [mm]r=e[/mm] folgen. - Laut
> > > der Musterlösung müsste der Radius aber [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
> sein.
> >
> >
> > Poste hier mal die Rechenschritte.
>
> Also:
> Potenzreihe gegeben durch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}*x^{n}[/mm]
>
> Hier bietet sich aus meiner Sicht das Wurzelkriterium an,
> also [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}}*x=\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n}*x<1 \Rightarrow x<\bruch{1}{\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}... \Rightarrow \bruch{1}{1*e}=\bruch{1}{r}[/mm]
>
> Hiermit wäre ja dann r=e. (Sorry, ich glaube, dass ich es
> im vorigen Beispiel vertauscht hatte - also dort, wo ich
> geschrieben habe, dass ich [mm]r=\bruch{1}{e}[/mm] heraus habe, es
> aber r=e sein müsste)
Da hast Du etwas durcheinander gebracht.
Auch hier ist
[mm]r =\bruch{1}{\limes_{n \rightarrow \infty} {\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}} \left(1+\bruch{1}{n} \right)^{n^{2}}}}}[/mm]
>
> (Laut der Lösung müsste [mm]r=\bruch{1}{e}[/mm] sein.)
Gruss
MathePower
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hi, du hättest auch das wurzelkriterium machen können
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{|an|}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n^n}}{\wurzel[n]{n!}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}
[/mm]
wenn du die stirlingische formel kennst [mm] (\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}\to [/mm] e)
folgt daraus eben der rest wie mathepower erklärte
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