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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Sa 16.08.2008 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | Aufgabe 4 (8 Punkte) Gegeben ist die Funktion f : (−p, p) → [mm] \IR [/mm] : x →
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^kx^k}{k}
[/mm]
wobei p den Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet
Geben Sie den Wert von p an: =
Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Ableitung f′ an: f′(x) =
Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für f an: f(x) = |
hallo, ich habe, da es sich hierbei um eine potenzreihe handelt, das quotientenkriterium angewendet:
dabei habe ich nach allem auflösen noch
2*x [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}
[/mm]
wie bekomme ich jetzt daraus den konvergenzradius, der konkret nach musterlösung (1/2) beträgt?!
Was ist weiterhin mit einem geschlossenen Ausdruck gemeint und wie kommt man darauf?
danke im vorraus
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> hallo, ich habe, da es sich hierbei um eine potenzreihe
> handelt, das quotientenkriterium angewendet:
>
> dabei habe ich nach allem auflösen noch
> 2*x [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}[/mm]
>
>
> wie bekomme ich jetzt daraus den konvergenzradius, der
> konkret nach musterlösung (1/2) beträgt?!
Hallo!
Ich komme auf was anderes, wenn ich mit dem Quotientenkriterium rechne:
Für eine Reihe der Form [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a_{k}*x^{k}) [/mm] berechnet sich der Konvergenzradius r mit
[mm]r = \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}\right|[/mm]
Also ohne x! Das kommt in "r" nicht mehr vor! Das zu berechnen, ist eigentlich nicht schwer... Bei dir ist [mm] a_{k}=\bruch{2^{k}}{k}, [/mm] also ist
[mm]r = \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{2^{k}}{k}}{\bruch{2^{k+1}}{k+1}}\right| = \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{2^{k}}{k}*\bruch{k+1}{2^{k+1}}\right|=\bruch{1}{2}*\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{k+1}{k}\right|=\bruch{1}{2}.[/mm]
> Was ist weiterhin mit einem geschlossenen Ausdruck gemeint
> und wie kommt man darauf?
Ein geschlossener Ausdruck ist ein Term ohne Unendlich drin  Man will sowas wie [mm] 4^{n}, [/mm] 5+n bei dir sehen und nicht [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(i-2) [/mm] oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^{2} [/mm]
Zur Berechnung: Berechne mal in der Summe die Ableitung jedes einzelnen Summanden. Also quasi
f'(x) = [mm] \left(\summe_{k=1}^{\infty}(a_{k}*x^{k})\right)' [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left((a_{k}*x^{k})\right)' [/mm] = ...
Was ergibt sich in der SUmme??? Kann man das eventuell mit einer geometrischen Reihe verwursteln? (Wenn ich schon so frage...) Bedenke, dass es nur x ist, nach was du ableitest... nur Potenzregel anwenden!
> danke im vorraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 17.08.2008 | | Autor: | marder |
ok also die geometrische reihe ist ja [mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k
[/mm]
wenn ich jetzt mal die summe bilde dann habe ich das hier stehen:
[mm] =2x+\bruch{2^2x^2}{2}+\bruch{2^3x^3}{3}+\bruch{2^4x^4}{4}.....
[/mm]
das ableiten ergibt = [mm] 2+2^2x+2^3x^2+2^4x^3....
[/mm]
also wenn ich das mal als reihe auffasse sowas wie [mm] 2^k x^{k-1}
[/mm]
aber das ist ja jetzt noch kein geschlossener ausdruck oder was?!
laut musterlösung sollte da [mm] \bruch{2}{1-2x}
[/mm]
wie kommt man da drauf?!
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> ok also die geometrische reihe ist ja
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}q^k[/mm]
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> wenn ich jetzt mal die summe bilde dann habe ich das hier
> stehen:
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> [mm]=2x+\bruch{2^2x^2}{2}+\bruch{2^3x^3}{3}+\bruch{2^4x^4}{4}.....[/mm]
>
> das ableiten ergibt = [mm]2+2^2x+2^3x^2+2^4x^3....[/mm]
>
> also wenn ich das mal als reihe auffasse sowas wie [mm]2^k x^{k-1}[/mm]
>
> aber das ist ja jetzt noch kein geschlossener ausdruck oder
> was?!
> laut musterlösung sollte da [mm]\bruch{2}{1-2x}[/mm]
> wie kommt man da drauf?!
Du hast vergessen zu erwähnen, dass für $|q|<1$ gilt: [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$. [/mm] Für Dein [mm] $f'(x)=2\cdot \sum_{k=0}^\infty (2x)^k$ [/mm] ist demnach, unter der Voraussetzung $|2x|<1$, [mm] $f'(x)=2\cdot \frac{1}{1-2x}=\frac{2}{1-2x}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 17.08.2008 | | Autor: | marder |
jetzt versteh ich garnix mehr, wie kommst du denn bitte darauf?
das ist doch der grenzwert für die geometrische reihe, die hat doch garnix mit meiner reihe zu tun:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^kx^k}{k} [/mm] $
das ist meine reihe und dafür suche ich einen geschlossenen ausdruck...
wenn ich jetzt ableitungen der einzelsummen bilde kommt oben genanntes raus, ich versteh nicht wie ich das mit der geometrischen reihe verbinden kann/soll?!
danke
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> jetzt versteh ich garnix mehr, wie kommst du denn bitte
> darauf?
> das ist doch der grenzwert für die geometrische reihe, die
> hat doch garnix mit meiner reihe zu tun:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^kx^k}{k}[/mm]
Die Aufgabe war doch, wenn ich Dich richtig verstanden habe, eine explizite Formel für die Ableitung der Funktion $f(x) := [mm] \sum_{k=1}^\infty \bruch{2^kx^k}{k}$ [/mm] anzugeben.
>
> das ist meine reihe und dafür suche ich einen geschlossenen
> ausdruck...
Du hast selbst ein Ergebnis angegeben, das Du nicht verstanden hättest. Und ich habe Dir eine Antwort auf diese Frage gegeben. Es ist [mm] $f'(x)=\frac{2}{1-2x}$, [/mm] für $|2x|<1$.
> wenn ich jetzt ableitungen der einzelsummen bilde kommt
> oben genanntes raus, ich versteh nicht wie ich das mit der
> geometrischen reihe verbinden kann/soll?!
Also gut, ich schreib nochmals alles an einem Stück:
[mm]f'(x)=\left(\summe_{k=1}^\infty \frac{2^kx^k}{k}}\right)'=\summe_{k=1}^\infty \left(\frac{2^kx^k}{k}}\right)'=\summe_{k=1}^\infty 2^k x^{k-1}=2\cdot \summe_{k=1}^\infty (2x)^{k-1}=2\cdot \summe_{k=0}^\infty (2x)^k=2\cdot\frac{1}{1-2x}=\frac{2}{1-2x}[/mm]
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Hallo!
Ich finde das übrigens dahingehend interessant, weil wir nun auch den Grenzwert für die Ausgangsreihe bestimmen können! Wegen
[mm]f'(x) = \bruch{2}{1-2x}[/mm]
ist
[mm]f(x) = -\ln(1-2x)[/mm]
Stefan.
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