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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Hallo50 |
| Aufgabe | | Bestimme den Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} n/(2x)^n [/mm] |
Hallo! Für die folgende Reihe soll ich den Konvergenzradius berechnen.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} n/(2x)^n [/mm]
Das Konvergenzintervall habe ich schon ausgerechnet, die Reihe konvergiert für x<-1/2 und für x>1/2. Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass das Konvergenzintervall geteilt ist. Normalerweise kriege ich den Konvergenzradius nämlich immer so raus, dass ich die für den Radius einfach die Hälfte der Intervallbreite nehme (Geht das überhaupt so???)
Aber hier geht das ja nicht. Was macht man da?
Ich habe versucht, den Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamad auszurechnen, da kommt bei mir 2 raus. Habe ich mich verrechnet? Macht das Ergebnis Sinn?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme den Konvergenzradius der Reihe
> [mm]\summe_{\red{i}=1}^{\infty} n/(2x)^n[/mm]
Du meinst sicher
$$
[mm] \blue{\summe_{n=1}^{\infty}} n/(2x)^n.
[/mm]
$$
(Laufindex $n$ anstatt $i$.)
> Hallo! Für die folgende
> Reihe soll ich den Konvergenzradius berechnen.
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} n/(2x)^n[/mm]
> Das Konvergenzintervall
> habe ich schon ausgerechnet, die Reihe konvergiert für
> x<-1/2 und für x>1/2. Mein Problem bei der Aufgabe ist,
> dass das Konvergenzintervall geteilt ist. Normalerweise
> kriege ich den Konvergenzradius nämlich immer so raus, dass
> ich die für den Radius einfach die Hälfte der
> Intervallbreite nehme (Geht das überhaupt so???)
> Aber hier geht das ja nicht. Was macht man da?
> Ich habe versucht, den Konvergenzradius mit der Formel von
> Cauchy-Hadamad auszurechnen, da kommt bei mir 2 raus. Habe
> ich mich verrechnet? Macht das Ergebnis Sinn?
Mach' Dir bitte klar, dass da oben keine Potenzreihe (jedenfalls bzgl. $x$) steht, denn obige Reihe sieht ja so aus:
$$
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n/(2x)^n \equiv\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}*{\left(\blue{\frac{1}{x}}\right)}^{n}. [/mm]
$$
Um herauszufinden, wo diese Reihe konvergiert bzw. divergiert kannst Du das Wurzelkriterium anwenden (im Prinzip "braucht" man den Satz von Cauchy-Hadamard nicht, denn er ist ja nur eine direkte Anwendung des Wurzelkriteriums; also wer das Wurzelkriterium verstanden hat, versteht normalerweise auch Cauchy-Hadamard; das nur am Rande...). Aber wie gesagt: Auf die Reihe in dieser Form kannst Du erstmal nicht Cauchy-Hadamard (bzgl. $x$) anwenden, denn es ist keine Potenzreihe (bzgl. $x$). Allerdings geht's indirekt doch wieder:
Denn wenn Du [mm] $y:=\frac{1}{x}$ [/mm] substituierst, hast Du eine Potenzreihe in [mm] $y=\frac{1}{x}$ [/mm]
(beachte, dass Du den Fall $x=0$ separat behandeln musst, d.h. [mm] $y=\frac{1}{x}$ [/mm] geht nur für $x [mm] \not=0$).
[/mm]
Im Falle $x [mm] \not=0$ [/mm] kannst Du also [mm] $y=\frac{1}{x}$ [/mm] setzen und dann geht die obige Reihe über in
$$
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}*\left(\frac{1}{x}\right)^n\equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}*y^n.
[/mm]
$$
Mit Cauchy-Hadamard erhälst Du dann, dass die letzte (Potenzreihe in $y$) für $|y| < 2$ konvergiert und für $|y| > 2$ divergiert.
Die Konsequenz ist, dass Du daraus schließt: Wenn [mm] $|y|=\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|} [/mm] < 2$ ist, dann konvergiert die Reihe bzgl. $x$ und wenn [mm] $\frac{1}{|x|} [/mm] > 2$, dann divergiert die Reihe bzgl. $x$...
Also: Das Problem, dass Du bei der Reihe keinen "Konvergenzkreis" bzgl. $x$ hast, liegt daran, dass die Reihe bzgl. $x$ gar keine Potenzreihe ist, sondern es ist eine Potenzreihe bzgl. [mm] $\frac{1}{x}\;\;(=y)$.
[/mm]
P.S.:
Nur, dass Du den Begriff vielleicht mal gehört hast und Dich später vll. auch mal erinnerst, wenn das Thema behandelt wird: Bzgl. $x$ könnte man oben von (dem Hauptteil) einer Laurentreihe sprechen...
Gruß,
Marcel
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