Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mi 09.07.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Berechne den Konvergenzradius der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
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Ich habe versucht den Konvergenzradius mit dieser Formel zu berechnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit [mm] a_n=\frac{(-1)^n}{2n+1} [/mm] bekomme ich [mm] r=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\wurzel[n]{2n+1}}}
[/mm]
Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2n+1}=1 [/mm] analog zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1 [/mm] ???
Damit wäre ich aber weit entfernt vom richtigen Ergebnis [mm] r=\frac{1}{2}.
[/mm]
Besten Dank im Voraus für eure Antworten!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne den Konvergenzradius der folgenden Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
>
>
> Ich habe versucht den Konvergenzradius mit dieser Formel zu
> berechnen:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Mit [mm]a_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}[/mm] bekomme ich
> [mm]r=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\wurzel[n]{2n+1}}}[/mm]
>
> Ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2n+1}=1[/mm] analog
> zu [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1[/mm] ???
>
> Damit wäre ich aber weit entfernt vom richtigen Ergebnis
> [mm]r=\frac{1}{2}.[/mm]
>
> Besten Dank im Voraus für eure Antworten!
schreibe die Reihe erstmal vernünftig in eine Potenzreihe um, so dass auch wirklich alle Potenzen auftreten.
Dazu definiertst Du z.B [mm] $$a_n [/mm] := [mm] \begin{cases} \frac{(-1)^k 2^{2k+1}}{2k+1}, & \mbox{für } n=2k+1 \mbox{ mit einem }k \in \IN\\ 0,\mbox{ sonst} \end{cases}= \begin{cases} \frac{(-1)^k 2^n}{n}, & \mbox{für } n=2k+1 \mbox{ mit einem }k \in \IN\\ 0,\mbox{ sonst} \end{cases}$$
[/mm]
und erkennst damit, dass Deine Reihe den gleichen Konvergenzradius wie die Potenzreihe
$$
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
[/mm]
$$
hat.
Alternativ kannst Du oben auch $z=2x$ substituieren und den Konvergenzradius von
$$
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k z^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
$$
in $z=2x$ zu
[mm] $r_z=\frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty}\sqrt[2k+1]{\left|\frac{(-1)^k}{2k+1}\right|}}=1$
[/mm]
berechnen (beachte, dass die bei der Variablen der Potenzreihe stehende Potenz wichtig beim Wurzelziehen ist; Du hattest quasi [mm] $\sqrt[k]{\left|\frac{(-1)^k}{2k+1}\right|}$ [/mm] berechnen wollen, aber nicht bei [mm] $z^{k}$ [/mm] steht der Vorfaktor [mm] $\frac{(-1)^k }{2k+1}$, [/mm] sondern bei [mm] $z^{2k+1}$; [/mm] genauer geht das, wenn man die Reihe durch "Nullen" so ergänzt, dass da wirklich eine Potenzreihe in $z$ steht, analog zu dem, wie ich das oben für die Potenzreihe in $x$ gemacht habe).
Das ist allerdings der Konvergenzradius in $z=2x$, und wie folgt dann der Konvergenzradius in $x$?
Es gilt [mm] $|z|
P.S.:
Übrigens wäre in der Tat auch [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2n+1}=1$, [/mm] da $1 [mm] \leftarrow \sqrt[2n+1]{2n+1} \le \sqrt[n]{2n+1} \le \sqrt[n]{3n}=\sqrt[n]{3}*\sqrt[n]{n} \to 1*1=1$ bei $n \to \infty$.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mi 09.07.2008 | | Autor: | bigalow |
Bei [mm] a_n [/mm] = [mm] \begin{cases} \frac{(-1)^k 2^n}{n}, & \mbox{für } n=2k+1 \mbox{ mit einem }k \in \IN\\ 0,\mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] setze ich zuerst $k=n-1$ in [mm] $(-1)^k$ [/mm] ein und dann [mm] a_n [/mm] in die Formel für den Konvergenzradius von [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n x^n [/mm] oder?
Bei der Substitution:Wenn ich $|2x|< [mm] r_z$ [/mm] durch 2 teile komme ich auf [mm] |x|<\frac{r_z}{2} =\frac{1}{2} [/mm] und damit [mm] \frac{1}{2}
Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort :) !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Do 10.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bei [mm]a_n[/mm] = [mm]\begin{cases} \frac{(-1)^k 2^n}{n}, & \mbox{für } n=2k+1 \mbox{ mit einem }k \in \IN\\ 0,\mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
> setze ich zuerst [mm]k=n-1[/mm] in [mm](-1)^k[/mm] ein und dann [mm]a_n[/mm] in die
> Formel für den Konvergenzradius von [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^n[/mm]
> oder?
Das verstehe ich nicht. Ganz genau hätte ich vll. besser geschrieben:
$$
[mm] a_n=\begin{cases} \frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}} 2^n}{n}, & \mbox{für ungerades }n \in \IN_{\ge 3} \\ 0,\mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
$$
damit dort auch wirklich nur noch "n's" stehen. Aber wegen
$$
[mm] \sqrt[n]{|a_n|}=\begin{cases} \sqrt[n]{\frac{2^n}{n}} & \mbox{für ungerades }n \in \IN_{\ge 3} \\ \sqrt[n]{0}=0,\mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
$$
(wegen [mm] $|(-1)^k|=1$ [/mm] bzw. [mm] $|(-1)^{\frac{n-1}{2}}|=1$) [/mm] hielt ich das nicht für besonders interessant, ob dort nun [mm] $(-1)^k$ [/mm] oder (formal sauberer) [mm] $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$ [/mm] steht, da es an der Rechnung weder etwas vereinfacht noch etwas verkompliziert. Die [mm] $(-1)^{irgendwas}$ [/mm] interessieren bei [mm] $|a_n|$ [/mm] ja nicht.
Und wenn Du mal genau hinguckst, was ich hier gemacht habe:
Anstatt
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}=\frac{(-1)^1}{3}(2x)^{3}+\frac{(-1)^2}{5}(2x)^{5}+\frac{(-1)^3}{7}(2x)^{7}+...=\frac{(-1)^1 2^3}{3}x^3+\frac{(-1)^2 2^5}{5}x^5+\frac{(-1)^3 2^7}{7}x^7+...$
[/mm]
habe ich "im Prinzip einfach geschrieben":
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}=\blue{0*x^0+0*x^1+0*x^2}+\frac{(-1)^1 2^3}{3} x^3+\blue{0*x^4}+\frac{(-1)^2 2^5}{5}x^5+\blue{0*x^6}+\frac{(-1)^3 2^7}{7}x^7+...=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$
[/mm]
So sieht eine Potenzreihe ja "wirklich" aus und das ändert nichts am Konvergenzverhalten der Reihe und damit auch nicht am Konvergenzradius (in Wahrheit wurde damit natürlich die Teilsummenfolge der Reihe verändert).
Somit habe ich Deine Reihe quasi "in natürlicher Weise zu einer Potenzreihe *manipuliert*". Dabei wurden zwar die Teilsummenfolgen verändert (also obige Gleichheit dürfte man nicht so schreiben, wenn die Reihe die Folge ihrer Teilsummen repräsentiert), aber nicht der Grenzwert im Falle der Existenz und auch nicht das Konvergenzverhalten der Reihe (und in diesem Sinne ist letzte obige Gleichheit korrekt).
> Bei der Substitution:Wenn ich [mm]|2x|< r_z[/mm] durch 2 teile komme
> ich auf [mm]|x|<\frac{r_z}{2} =\frac{1}{2}[/mm]
Genau 
> und damit
> [mm]\frac{1}{2}
Du kannst natürlich nicht [mm] $r_x [/mm] > [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] schreiben, sondern es muss [mm] $r_x=\frac{1}{2}$ [/mm] heißen.
Wenn Dir das unklar ist, kannst Du Dir das auch so überlegen:
Die Potenzreihe in $z$ konvergiert für alle $|z|=|2x| < 1$ und divergiert für alle $|z|=|2x| > 1$.
Für die Potenzreihe in $x$ bedeutet das:
Sie konvergiert jedenfalls für alle $|x| < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und divergiert für alle $|x| > [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Also ist [mm] $r_x=\frac{1}{2}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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