Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Di 22.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius von
[mm] \summe_{n=0}^\infty{\bruch{x^{2n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}} [/mm] |
Als zugehörige Lösung habe ich folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe jedoch absolut nicht was hier (v.a. im ersten Schitt) gemacht wird.
Ziel muss ja sein die Reihe auf die Form [mm] \summe_n{a_n(x-x_0)^n} [/mm] zu bringen um dann mit [mm] a_n [/mm] den Konvergenzradius zu bestimmen.
Allerdings ist mir wie gesagt nicht klar welche Gedanken & Umformungen zu dem gegebenen [mm] a_n [/mm] führen.
Wenn mir jmd hier weiterhelfen könnte wäre ich sehr dankbar.
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Hallo Zerwas!
Im ersten Schritt wurde wegen des [mm] $(-1)^n$-Terms [/mm] die Folge in gerade und ungerade Folgeglieder unterteilt.
Denn es gilt ja: [mm] $(-1)^{2*k} [/mm] \ = \ +1$ bzw. [mm] $(-1)^{2*k+1} [/mm] \ = \ -1$ .
Damit ergibt sich:
[mm] $$a_n=\begin{cases} \bruch{1}{[4+(+1)]^{3n}} \ = \ \bruch{1}{5^{3n}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{1}{[4+(-1)]^{3n}} \ = \ \bruch{1}{3^{3n}}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
Und nun wurde hier jeweils für die beiden Teilfolgen separat der Konvergenzradius ermittelt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 22.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
okay danke :) ... d.h. man könnte das ganze auch derart schreiben:
[mm] \summe_{n=0}^\infty{\bruch{x^{2n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^\infty{\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{3n}}*x^{2n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^\infty{\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{\bruch{3n}{2}}}*x^{n}}
[/mm]
Sei [mm] a_n=\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{\bruch{3n}{2}}}
[/mm]
1.Fall n gerade:
[mm] a_n=\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(4+1)^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5^{\bruch{3n}{2}}}
[/mm]
Konvergenzradius:
r = [mm] \bruch{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5^{\bruch{3n}{2}}}}
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] = ???
Wie bestimme ich hier den limes?
Könnte mir hier nochjmd weiter helfen bitte
Gruß und danke Zerwas
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Hallo Zerwas!
> okay danke :) ... d.h. man könnte das ganze auch derart
> schreiben:
>
> [mm]\summe_{n=0}^\infty{\bruch{x^{2n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^\infty{\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{3n}}*x^{2n}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^\infty{\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{\bruch{3n}{2}}}*x^{n}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nicht ganz. Am Ende muss es heißen:
$$... \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\red{\left[}{\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{\bruch{3n}{2}}}*x^{n}}\red{\right]^2}$$
[/mm]
Ansonsten veränderst Du ja die gesamte Reihe.
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5^{\bruch{3n}{2}}}[/mm] = ???
> Wie bestimme ich hier den limes?
Gemäß  Potenzgesetzen gilt: [mm] $\wurzel[n]{a} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{n}}$ [/mm] sowie [mm] $\left(a^m\right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$ [/mm] .
Damit gilt auch: [mm] $\wurzel[n]{5^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \left(5^{\bruch{3n}{2}}\right)^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] 5^{\bruch{3n}{2}*\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] 5^{\bruch{3}{2}}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:55 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Okay ...danke :) ... bei dem "Wurzelziehen" war ich mir auch nicht sicher ob ich das einfach so darf :-[
dann erhalte ich also:
1.Fall n gerade:
$ [mm] a_n=\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{(4+1)^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{5^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] $
Konvergenzradius:
r = $ [mm] \bruch{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5^{\bruch{3n}{2}}}} [/mm] $
$ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] $ = [mm] 5^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
2.Fall n ungerade:
[mm] a_n=\bruch{1}{(4+(-1)^n)^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(4-1)^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3^{\bruch{3n}{2}}} [/mm]
Konvergenzradius:
r = $ [mm] \bruch{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^{\bruch{3n}{2}}}} [/mm] $
$ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^{\bruch{3n}{2}}} [/mm] $ = $ [mm] 3^{\bruch{3}{2}} [/mm] $
Jetzt muss ich ja eigentlich den kleineren Wert nehmen, da ja nur für diesen Bereich die gesamte Folge konvergiert oder?
Das hieße dann, dass mein gesuchter Konvergenzradius [mm] 3^{\bruch{3}{2}} [/mm] ist.
Muss ich den jetzt aber nicht eigentlich noch quadrieren?
Ich habe doch bisher eigentlich nur mit dem was "in der Klammer" steht gearbeitet?
Oder hatt das letztlich keine Auswirkungen auf den Konvergezradius? :-[
Danke uns Gruß Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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