Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mi 22.07.2015 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | <br>
Berechne den Kovergenzradius von
[mm] \sum_{k=1}^{ \infty} \left ( \frac{2n+1}{n}\right )^n * z^{2n}[/mm] mit [mm]z_0=0[/mm]
Lösung soll [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] sein. |
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Es handelt sich hier doch um eine Potenzreihe. kann mir jemand einen Tipp geben wie ich umformen muss, um das Wurzelkriterium anzuwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
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> Berechne den Kovergenzradius von
> [mm]\sum_{k=1}^{ \infty} \left ( \frac{2n+1}{n}\right )^n * z^{2n}[/mm]
> mit [mm]z_0=0[/mm]
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> Lösung soll [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] sein.
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> Es handelt sich hier doch um eine Potenzreihe. kann mir
> jemand einen Tipp geben wie ich umformen muss, um das
> Wurzelkriterium anzuwenden?
Da musst Du doch nichts umformen !
Setze
[mm] $a_n:= \left ( \frac{2n+1}{n}\right )^n [/mm] * [mm] z^{2n}$.
[/mm]
Dann:
[mm] \wurzel[n]{|a_n|}=\frac{2n+1}{n}*|z|^2 \to 2|z|^2 [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 22.07.2015 | | Autor: | Frisco |
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Und damit muss dann der Konvergenzradius r=[mm] \frac{1}{\sqrt{2}}[/mm], da sonst die einzelnen reihenglieder größer 1 sind und somit die unendliche Summe divergiert, oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
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> Und damit muss dann der Konvergenzradius r=[mm] \frac{1}{\sqrt{2}}[/mm],
> da sonst die einzelnen reihenglieder größer 1 sind und
> somit die unendliche Summe divergiert, oder?!
Nein. Wir haben:
$ [mm] \wurzel[n]{|a_n|}=\frac{2n+1}{n}\cdot{}|z|^2 \to 2|z|^2 [/mm] $ für n $ [mm] \to \infty. [/mm] $
Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe, wenn
[mm] 2|z|^2<1 [/mm] ist, wenn also |z|< [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] ist.
Die Potenzreihe divergiert, wenn
[mm] 2|z|^2>1 [/mm] ist, wenn also |z|> [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Mi 22.07.2015 | | Autor: | Frisco |
Sorry für meine schlechte Ausrucksweise
Ich habe fälschlicherweise etwas von Summengliedern geschrieben, meinte aber das gleich wie du!
Danke nochmals!! 
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