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| Aufgabe | Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Reihen.
1) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (4+i^{k})^{k} [/mm] * [mm] z^{k}
[/mm]
2) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{k*2^{k}-3^{k}}{k^{2}+2^{k}}) [/mm] * [mm] z^{k}
[/mm]
3) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k!*(z+2-\wurzel{2}*i)^{k}
[/mm]
4) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{4}(z^{2}-2z+1))^{k} [/mm] |
Hallo liebes Forum, ich brauche hier wieder etwas Hilfe. Eigentlich hab ich ein paar Ansätze bin mir aber bei manchen Sachen unsicher. Geht also eher darum ein paar Tipps zu geben, bzw. auf Fehler hinzuweisen.
1) Ich weiss das [mm] i^{k} [/mm] periodisch ist (in 4er Schritten) also gilt mit der Cauchy-Hadamard Formel:
[mm] \bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty} |4+1|^{k*1/k}} [/mm] = 1/5
2) Hier fehlt mir leider etwas Übersicht, ich weiss ich muss den Wert von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
ausrechnen. Ich hab etwas mit Calc rumprobiert und es scheint gegen 2/3 zu laufen, allerdings krieg ich das nicht formal aufgeschrieben. Kann mir hier eventuell wer weiterhelfen?
3) Das ist der Konverganzradius im Entwicklungspunkt z0 = -2 + [mm] \wurzel{2}*i
[/mm]
Es gilt:
[mm] \bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty} |k!|^{1/k}} [/mm] = [mm] 1/\infty [/mm] = 0
4) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{4}(z^{2}-2z+1))^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{4})^{k}(z-1)^{2k}
[/mm]
Dann kann ich wieder die Cauchy-Hadamard Formel anwenden, allerdings die 2k-te Wurzel anstelle der k-ten Wurzel ziehen. Bei diesem Punkt bin ich unsicher, er erscheint logisch aber in der Vorlesung haben wir sowas leider noch nicht gesehen.
Also er halte ich:
[mm] \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty} |1/4|^{k/2k}} [/mm] = [mm] \wurzel{4}=2
[/mm]
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Hiho,
> 1) Ich weiss das [mm]i^{k}[/mm] periodisch ist (in 4er Schritten)
> also gilt mit der Cauchy-Hadamard Formel:
> [mm]\bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty} |4+1|^{k*1/k}}[/mm] =
> 1/5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) Hier fehlt mir leider etwas Übersicht, ich weiss ich
> muss den Wert von:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
Na du musst gar nichts. Du kannst es auch mit der gleichen Formel wie vorher machen.
Aber wir nehmen mal an, du willst es mit obiger Formel zeigen, dann:
Sauber aufschreiben, Doppelbruch auflösen, im Zähler [mm] 3^k [/mm] und [mm] 2^{k+1} [/mm] ausklammern, im Nenner [mm] 3^{k+1} [/mm] und [mm] $2^k$.
[/mm]
Kürzen, Grenzwert bilden, fertig 
> 3) Das ist der Konverganzradius im Entwicklungspunkt z0 =
> -2 + [mm]\wurzel{2}*i[/mm]
> Es gilt:
> [mm]\bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty} |k!|^{1/k}}[/mm] =
> [mm]1/\infty[/mm] = 0
Was du vermutlich meinst, ist: Der Konvergenzradius für [mm] $\tilde{z} [/mm] = z -2 + [mm] \wurzel{2}*i$ [/mm] ist Null.
Insofern:
> 4) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{4}(z^{2}-2z+1))^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{4})^{k}(z-1)^{2k}[/mm]
>
> Dann kann ich wieder die Cauchy-Hadamard Formel anwenden,
> allerdings die 2k-te Wurzel anstelle der k-ten Wurzel
> ziehen. Bei diesem Punkt bin ich unsicher, er erscheint
> logisch aber in der Vorlesung haben wir sowas leider noch
> nicht gesehen.
>
> Also er halte ich:
> [mm]\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty} |1/4|^{k/2k}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{4}=2[/mm]
Um das besser zu sehen forme noch wie folgt um:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{4})^{k}(z-1)^{2k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2k}(z-1)^{2k}$
[/mm]
Jetzt motiviert sich auch die Verwendung von 2k anstatt k in der Formel.
Alternativ kann du auch hier wieder wie folgt vorgehen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{4})^{k}(z-1)^{2k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{4})^{k}((z-1)^2)^{k}$
[/mm]
Setze [mm] $\tilde{z} [/mm] = [mm] (z-1)^2$ [/mm] und du erhältst einen Konvergenzradius für [mm] \tilde{z} [/mm] von 4, demzufolge einen für |z-1| von 2.
Das erklärt, warum die Verwendung der Formel von Cauchy-Hadamard mit 2k in Ordnung ist. Weil du halt erst die k-te Wurzel betrachtest um dann später nochmal die Wurzel zu ziehen. Insgesamt halt die 2k-te Wurzel.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 06.01.2016 | | Autor: | Struppi21 |
Hi, danke für die Hilfe :)
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