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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(i) [mm] \sum_{n=0}^{\infty}z^{2^{n}}
[/mm]
(ii) [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2^{n}}}{n!}
[/mm]
(iii) [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n!z^{2^{n}} [/mm] |
Hallo,
prinzipiell ist die Bestimmung von Konvergenzradien ist prinzipiell kein Problem (dachte ich bisher), hier habe ich aber leichte Probleme.
Zu (i):
Der vergleich mit der geometrischen Reihe liegt nahe, die Summe ist ja prinzipiell nichts anderes, als die geometrische Reihe nur mit einigen ausgelassenen Potenzen. Daher würde ich hier
[mm] \limes_{n\to\infty}\left|\frac{z^{2^{n+1}}}{z^{2^{n}}}\right|=\limes_{n\to\infty}|z^{2^{n}}|
[/mm]
Damit das konvergiert, benötigen wir |z|<1
Stimmt das ?
zu (ii) Hier eigentlich das Hauptproblem, wieder die gleiche Vorgehensweise
[mm] \limes_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)!}z^{2^{n+1}}}{\frac{1}{n!}z^{2^{n}}}\right|=\limes_{n\to\infty}|\frac{1}{n+1}z^{2^{n}}|=... [/mm] ?
Ja, was mache ich jetzt hier, das [mm] 2^{n} [/mm] im Exponenten irritiert mich etwas, vom Gefühl würde ich sagen, dass der Grenzwert 0 ist und der Konvergenzradius daher [mm] \infty [/mm] , aber sicher bin ich mir nicht ! Wie ist es korrekt ?
(iii) [mm] \limes_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!z^{2^{n+1}}}{n!z^{2^{n}}}\right|=\limes_{n\to\infty}(n+1)z^{2^{n}}=\infty
[/mm]
der Konvergenzradius wäre hier also mMn. R=0.
Stimmt das ?
Bin dankbar für jede Hilfe!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Mi 02.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen:
>
> (i) [mm]\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^{n}}[/mm]
>
> (ii) [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2^{n}}}{n!}[/mm]
>
> (iii) [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n!z^{2^{n}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> prinzipiell ist die Bestimmung von Konvergenzradien ist
> prinzipiell kein Problem (dachte ich bisher), hier habe ich
> aber leichte Probleme.
>
> Zu (i):
>
> Der vergleich mit der geometrischen Reihe liegt nahe, die
> Summe ist ja prinzipiell nichts anderes, als die
> geometrische Reihe nur mit einigen ausgelassenen Potenzen.
> Daher würde ich hier
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left|\frac{z^{2^{n+1}}}{z^{2^{n}}}\right|=\limes_{n\to\infty}|z^{2^{n}}|[/mm]
>
> Damit das konvergiert, benötigen wir |z|<1
>
> Stimmt das ?
Ja , für |z|<1 liegt Konvergenz vor. Da die Potenzreihe in z=1 divergiert, ist der Konvergenzradius = 1
>
> zu (ii) Hier eigentlich das Hauptproblem, wieder die
> gleiche Vorgehensweise
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)!}z^{2^{n+1}}}{\frac{1}{n!}z^{2^{n}}}\right|=\limes_{n\to\infty}|\frac{1}{n+1}z^{2^{n}}|=...[/mm]
Für |z|<1 ist obiger Limes =0, also liegt Konvergenz vor für |z|<1.
Ist |z|=1, so ist $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{|z^{2^{n}}|}{n!} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} [/mm] $, somit konvergiert die Potenzreihe für |z|=1 absolut. Nun Überlege Dir noch, dass die Potenzreihe für |z|>1 divergiert
> ?
>
> Ja, was mache ich jetzt hier, das [mm]2^{n}[/mm] im Exponenten
> irritiert mich etwas, vom Gefühl würde ich sagen, dass
> der Grenzwert 0 ist und der Konvergenzradius daher [mm]\infty[/mm] ,
> aber sicher bin ich mir nicht ! Wie ist es korrekt ?
>
> (iii)
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!z^{2^{n+1}}}{n!z^{2^{n}}}\right|=\limes_{n\to\infty}(n+1)z^{2^{n}}=\infty[/mm]
>
> der Konvergenzradius wäre hier also mMn. R=0.
>
> Stimmt das ?
Nein. Überlege Dir, dass für |z|<1 die Folge [mm] ((n+1)z^{2^{n}}) [/mm] eine Nullfolge ist.
Klar dürfte sein: die Potenzreihe divergiert für |z|=1
FRED
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> Bin dankbar für jede Hilfe!
>
> LG
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Hallo,
wir haben heute die Lösungen für diese Aufgabe bekommen. Das ganze ist für mich etwas verwirrend, denn für [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2^{n}}}{n!} [/mm] wird der Kovergenzradius mit [mm] \infty [/mm] angegeben und für [mm] \sum_{n=0}^{\infty}z^{2^{n}}n! [/mm] mit 0.
Die Argumentation für [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2^{n}}}{n!} [/mm] ist wie folgt:
Mit Stirling's Formel, [mm] (n!)^{\frac{1}{n}}\sim e^{-1}n^{\frac{1+1}{2n}}\sim \frac{n}{e}\to\infty [/mm] für [mm] n\to\infty. [/mm] Also ist [mm] \limsup [/mm] für jede Teilfolge (hier Potenzen von 2) [mm] =\infty. [/mm] Daher mit [mm] \rho:=\limsup|a_{n}|^{\frac{1}{n}} [/mm] und [mm] a_{2^{n}}=\frac{1}{n!}, \rho=0. [/mm] Der Konvergenzradius ist also [mm] R=\infty
[/mm]
Woher kommt das denn ? Wo liegt denn der Fehler in der Argumentation mittels [mm] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}z^{2^{n+1}}}{a_{n}z^{2^{n}}}\right| [/mm] ? Daraus wird doch ersichtlich, dass der Grenzwert nur endlich ist für [mm] |z|\leq [/mm] 1, Daher müsste doch auch der Konvergenzradius R=1 sein, oder ?
Wäre dankbar für Aufklärung !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 12.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Mi 02.02.2011 | | Autor: | Stoecki |
zu ii:
du hast quasi im zähler eine exponentiell wachsende funktion und im nenner eine linear wachsende funktion. die frage, die du dir zuerst stellen solltest, ist, welche von den beiden ist dominant.
zu iii:
hier gilt im prinzip das gleiche, wie bei der (ii)
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