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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Konvergenzpunkte [mm] x\in\IR [/mm] der Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n*2^n} [/mm] |
Cauchy-Hadamard liefert mir direkt den Konvergenzradius r=2
Für die Randuntersuchung erhalte ich direkt die harmonische Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] welche divergiert, somit Divergenz auf dem Rand.
Es gilt noch zu untersuchen: |x|<2
[mm] \Rightarrow x\in]-2,2[
[/mm]
Ist die Lösungsmenge am Ende nun die Endlösung oder muss da noch etwas zu? Habe ich womöglich etwas falsch gemacht?
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Für x=-2 erhältst du die alternierende harm. Reihe, und die konvergiert.
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Du meinst wenn ich die "Ränder" der Lösungsmenge wieder in die Anfangsreihe einsetze?
Muss man das denn? Ich meine Lösung denn bis dort richtig?
Auf dem Rand liegt doch Divergenz vor, da ich doch den Radius eingesetzt habe und die normale harm. Reihe erhalten habe.
Weiß noch nicht so ganz was ich zur Bestimmung der Konvergenzpunkte alles machen muss.
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Hi,
du hast den Konvergenzradius ermittelt. Damit ist gesichert, dass alle [mm] x\in(-r,r) [/mm] Konvergenzpunkte sind.
Nun muss man nur noch die Randpunkte untersuchen. Also in diesem Fall: x=r=2 und x=-r=-2
Bei x=2 ist die Reihe divergent. Bei x=-2 ist die Reihe jedoch konvergent.
Somit ergiben sich als Konvergenzpunkte:
[mm] x\in[-2,2)
[/mm]
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Warum ist das nicht genau andersherum, wenn die Reihe doch für x=-2 konvergent ist? Sehe den Zusammenhang gerade nicht wirklich.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Do 23.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was verstehst du nicht? Dass -2 zu den Konvergenzpunkten gehürt und +2 nicht? dass -2 einer der Randpunkte ist?
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:32 Fr 24.01.2014 | | Autor: | SturmGhost |
Schon gut, ich habe nicht drauf geachtet das er beide Klammerarten genommen hat.
[mm] x\in[-2,2[ [/mm] wäre besser gewesen, aber sagt natürlich das gleich aus. Danke
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