Konvergenzprüfung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 22.02.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Überprüfen Sie folgende Reihe auf Konvergenz, sowie auf absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}} [/mm] |
Hallo liebes Forum,
habe bis jetzt folgendes getan:
Nach Leibnitz Kriterium ist die Folge eine monoton fallende Nullfolge. Demnach Konvergent.
Um absolute Konvergenz zu prüfen, habe ich nun die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}| [/mm] auf Konvergenz überprüft, da ja
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] absolut konvergiert, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] konvergiert.
Nach dem Quotientenkriterium konvergiert diese Reihe für [mm] n\rightarrow \infty [/mm] gegen den Wert [mm] \frac{1}{3}.
[/mm]
Also ist die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}} [/mm] absolut konvergent.
Bin mir nicht sicher, ob das alles so stimmt. Würde mich freuen, wenn jemand von euch mal nen Blick drauf werfen könnte.
Liebe Grüße,
Meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie folgende Reihe auf Konvergenz, sowie auf
> absolute Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}[/mm]
> Hallo liebes Forum,
>
> habe bis jetzt folgendes getan:
>
> Nach Leibnitz Kriterium ist die Folge eine monoton fallende
> Nullfolge.
nein. Wenn Du das Leibniz (-ohne t) -Krit. anwenden willst mußt Du zeigen, dass [mm] (\frac{n}{3^{n-1}}) [/mm] eine monotone Nullfolge ist. Hast Du das getan ?
> Demnach Konvergent. Was ? Du meinst sicher obige Reihe.
>
> Um absolute Konvergenz zu prüfen, habe ich nun die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}|[/mm] auf
> Konvergenz überprüft, da ja
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut konvergiert, wenn
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] konvergiert.
>
> Nach dem Quotientenkriterium konvergiert diese Reihe für
> [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen den Wert [mm]\frac{1}{3}.[/mm]
Nein. Es gilt $| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}| \to [/mm] 1/3$ Damit ist obige Reihe absolut konvergent.
FRED
>
> Also ist die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}[/mm] absolut
> konvergent.
>
> Bin mir nicht sicher, ob das alles so stimmt. Würde mich
> freuen, wenn jemand von euch mal nen Blick drauf werfen
> könnte.
>
> Liebe Grüße,
> Meely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 22.02.2012 | | Autor: | meely |
> > Überprüfen Sie folgende Reihe auf Konvergenz, sowie auf
> > absolute Konvergenz:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}[/mm]
> > Hallo liebes Forum,
> >
> > habe bis jetzt folgendes getan:
> >
> > Nach Leibnitz Kriterium ist die Folge eine monoton fallende
> > Nullfolge.
>
> nein. Wenn Du das Leibniz (-ohne t) -Krit. anwenden willst
> mußt Du zeigen, dass [mm](\frac{n}{3^{n-1}})[/mm] eine monotone
> Nullfolge ist. Hast Du das getan ?
>
ja habe ich:
Nullfolge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{3^{n-1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}n*3^{1-n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{1-n}}{ln(3)}=...=0
[/mm]
Monotonie habe ich ebenfalls geprüft und auf 1/2<n gekommen, was ja stimmt, da die Reihe bei n=1 beginnt
>
>
> > Demnach Konvergent. Was ? Du meinst sicher obige Reihe.
>
>
> >
> > Um absolute Konvergenz zu prüfen, habe ich nun die Reihe
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}|[/mm] auf
> > Konvergenz überprüft, da ja
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut konvergiert, wenn
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] konvergiert.
> >
> > Nach dem Quotientenkriterium konvergiert diese Reihe für
> > [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen den Wert [mm]\frac{1}{3}.[/mm]
>
> Nein. Es gilt [mm]| \bruch{a_{n+1}}{a_n}| \to 1/3[/mm] Damit ist
> obige Reihe absolut konvergent.
Genau das meinte ich damit.
Vielen Dank für die Antwort :)
>
> FRED
Liebe Grüße,
Meely
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Hallo meely,
> > > Überprüfen Sie folgende Reihe auf Konvergenz, sowie auf
> > > absolute Konvergenz:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}[/mm]
> > > Hallo liebes Forum,
> > >
> > > habe bis jetzt folgendes getan:
> > >
> > > Nach Leibnitz Kriterium ist die Folge eine monoton fallende
> > > Nullfolge.
> >
> > nein. Wenn Du das Leibniz (-ohne t) -Krit. anwenden willst
> > mußt Du zeigen, dass [mm](\frac{n}{3^{n-1}})[/mm] eine monotone
> > Nullfolge ist. Hast Du das getan ?
> >
>
> ja habe ich:
>
> Nullfolge:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{3^{n-1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}n*3^{1-n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{1-n}}{ln(3)}=...=0[/mm]
>
Beim letzten Schritt hast Du wohl L'Hopsital angewandt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Monotonie habe ich ebenfalls geprüft und auf 1/2<n
> gekommen, was ja stimmt, da die Reihe bei n=1 beginnt
>
Poste doch die Rechenschritte dazu.
>
> >
> >
> > > Demnach Konvergent. Was ? Du meinst sicher obige Reihe.
> >
> >
> > >
> > > Um absolute Konvergenz zu prüfen, habe ich nun die Reihe
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1}\frac{n}{3^{n-1}}|[/mm] auf
> > > Konvergenz überprüft, da ja
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut konvergiert, wenn
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] konvergiert.
> > >
> > > Nach dem Quotientenkriterium konvergiert diese Reihe für
> > > [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen den Wert [mm]\frac{1}{3}.[/mm]
> >
> > Nein. Es gilt [mm]| \bruch{a_{n+1}}{a_n}| \to 1/3[/mm] Damit ist
> > obige Reihe absolut konvergent.
>
> Genau das meinte ich damit.
>
> Vielen Dank für die Antwort :)
>
> >
> > FRED
>
> Liebe Grüße,
> Meely
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 22.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo MathePower und danke für die Antwort :)
also für die Monotonie habe ich folgendes getan:
[mm] \frac{n}{3^{n-1}}>\frac{n+1}{3^{n}}
[/mm]
[mm] n(3^{n})>(n+1)3^{n-1}
[/mm]
[mm] 3^{n-1}(3n-n)>3^{n-1}
[/mm]
2n>1
[mm] n>\frac{1}{2} [/mm] und das gilt ja für alle n, da die Reihe bei n=1 beginnt.
Liebe Grüße Meely
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Hallo meely,
> Hallo MathePower und danke für die Antwort :)
>
> also für die Monotonie habe ich folgendes getan:
>
> [mm]\frac{n}{3^{n-1}}>\frac{n+1}{3^{n}}[/mm]
>
> [mm]n(3^{n})>(n+1)3^{n-1}[/mm]
>
> [mm]3^{n-1}(3n-n)>3^{n-1}[/mm]
>
> 2n>1
>
> [mm]n>\frac{1}{2}[/mm] und das gilt ja für alle n, da die Reihe
> bei n=1 beginnt.
>
>
> Liebe Grüße Meely
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | meely |
Perfekt :) Vielen Dank euch beiden :)
Liebe Grüße
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