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| Aufgabe | | Prüfen Sie auf Konvergenz ! |
Also die Reihe Summe von [mm] \summe_{i=0}^{n} \wurzel{} [/mm] (n+1)/(2n+1) ist auf konvegenz zu prüfen mit dem quotientenkriterium komm ich da nur auf 1 was keine aussage gibt. Kann mir jemand helfen ? Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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also das hat noch nicht ganz geklappt die Reihe ist [mm] \summe_{i=0}^{n} \wurzel{(n+1)/(2n+1)} [/mm]
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immernoch ein Fehler statt n steht natürlich undendlich
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Hallo CingChris,
bevor ich an irgendwelche Rechnungen gehe, würde ich mal schauen, ob die NOTWENDIGE Bedingung für Konvergenz überhaupt erfüllt ist:
Bildet [mm] \left(\sqrt{\frac{n+1}{2n+1}}\right)_n [/mm] eine Nullfolge?
.....
PS: Die Reihe soll bestimmt von n=0 bis [mm] \infty [/mm] laufen, oder?
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Do 26.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zuerst sollte man mal untersuchen, ob die Summanden ne Nullfolge bilden, wenn nicht konvergiert die Summe sicher nicht!
Dass du über i Summierst ist hoffentlich ein Versehen muss doch wohl über n gehen und bis [mm] \infty?
[/mm]
Gruss leduart
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ja natürlich es war ein fehler ! aber es ergibt keine nullfolge ! im unserem forum steht was vom majorantenkriterium aber ich weiß nicht so richtig wie ich da vorgehe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 26.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die Summanden KEINE Nullfolge bilden divergiert die Reihe immer! (dass sie eine Nullfolge bilden ist eine NOTWENDIGE Bedingung für Konvergenz! da das so einfach zu sehen ist hast dus in deinem Skript oder Buch übersehen.) Wenn etw ab dem sagen wir 1000 Summanden unendlich oft beinahe 0,7 dazu addiert wird, was soll die arme ![[cry01]](/images/smileys/cry01.gif "[cry01]") Reihe tun als weinend nach [mm] \infty [/mm] laufen?
Gruss leduart
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Hi nochmal,
das Kriterium mit der Nullfolge, die die Reihenglieder für Konvergenz bilden müssen, ist schon durchschlagend.
Wenn du es aber UNBEDINGT mit dem Majorantenkriterium zeigen willst, schätze gegen eine divergente Minorante ab, also gegen eine "kleinere" Reihe, die divergiert.
Dann divergiert deine "größere" Ursprungsreihe erst recht.
Dazu können wir den Zähler verkleinern und den Nenner vergrößern..
So auf die Schnelle fällt mir diese Abschätzng ein:
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\sqrt{\frac{n+1}{2n+1}}>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sqrt{\frac{n}{2n+1}}>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sqrt{\frac{n}{n^2}} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 3
[mm] =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}
[/mm]
Und die ist ja bekanntermaßen divergent - hoffe ich zumindest
Die Reihen [mm] \sum\frac{1}{n^s} [/mm] sind ja divergent für [mm] s\le [/mm] 1 und konvergent für s>1
Gruß
schachuzipus
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Huch,
noch ne kleine Anmerkung:
lassen wir zur Sicherheit die Reihe mal bei n=1 loslaufen, um nicht
in die Verlegenheit zu kommen, durch 0 teilen zu müssen
Gruß
schachuzipus
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