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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzintervall
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Konvergenzintervall : Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Mi 28.09.2005
Autor: stevarino

Hallo

Bestimmen sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^k*(k/(2k-1))*(x+3)^k [/mm]

Ich berechne zunächst den Konvergenzradius
[mm] \bruch{1}{r}= \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{ a_{k+1}}{ a_{k}} [/mm] |
dann kommt raus r=1

jetzt gilt für alle  |x-a |<r=1  konvergiert die Reihe für alle |x-a |>r=1 divergiert sie
und die Randstellen -2 und -4 muss einzeln behandeln

für x=-2
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{ a_{k+1}}{ a_{k}} [/mm] |kommt -1 raus das würde bedeuten sie divergiert

bei x=-4 nehm ich das Konvergenzkriterium von Leibniz
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^k*(k/(2k-1))*(-1)^k [/mm]
da die Folge  [mm] a_{k} [/mm] keine Nullfolge ist kann die Reihe nur divergent sein

Das Konvergenzintervall ist also -4<x<-2

stimmt das so von den Überlegungen

Danke Stevo



        
Bezug
Konvergenzintervall : Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Mi 28.09.2005
Autor: MathePower

Hallo stevarino,

> Bestimmen sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe
>   [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^k*(k/(2k-1))*(x+3)^k[/mm]
>  
> Ich berechne zunächst den Konvergenzradius
> [mm]\bruch{1}{r}= \limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{ a_{k+1}}{ a_{k}}[/mm]
> |
>  dann kommt raus r=1

[ok]

>  
> jetzt gilt für alle  |x-a |<r=1  konvergiert die Reihe für
> alle |x-a |>r=1 divergiert sie
> und die Randstellen -2 und -4 muss einzeln behandeln
>  
> für x=-2
>  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{ a_{k+1}}{ a_{k}}[/mm]
> |kommt -1 raus das würde bedeuten sie divergiert
>  
> bei x=-4 nehm ich das Konvergenzkriterium von Leibniz
>   [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^k*(k/(2k-1))*(-1)^k[/mm]
>  da die
> Folge  [mm]a_{k}[/mm] keine Nullfolge ist kann die Reihe nur
> divergent sein

Das Konvergenzkriterium von Leibniz gilt meines Wissens nur für alternierende Reihen.

>  
> Das Konvergenzintervall ist also -4<x<-2
>

[ok]

Gruß
MathePower
Bezug
                
Bezug
Konvergenzintervall : Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:35 Mi 28.09.2005
Autor: stevarino


> Hallo stevarino,
>  
> > Bestimmen sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe
>  >   [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^k*(k/(2k-1))*(x+3)^k[/mm]
>  >  
> > Ich berechne zunächst den Konvergenzradius
> > [mm]\bruch{1}{r}= \limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{ a_{k+1}}{ a_{k}}[/mm]
> > |
>  >  dann kommt raus r=1
>  
> [ok]
>  
> >  

> > jetzt gilt für alle  |x-a |<r=1  konvergiert die Reihe für
> > alle |x-a |>r=1 divergiert sie
> > und die Randstellen -2 und -4 muss einzeln behandeln
>  >  
> > für x=-2
>  >  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{ a_{k+1}}{ a_{k}}[/mm]
> > |kommt -1 raus das würde bedeuten sie divergiert
>  >  
> > bei x=-4 nehm ich das Konvergenzkriterium von Leibniz
>  >   [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^k*(k/(2k-1))*(-1)^k[/mm]
>  >  da
> die
> > Folge  [mm]a_{k}[/mm] keine Nullfolge ist kann die Reihe nur
> > divergent sein
>  
> Das Konvergenzkriterium von Leibniz gilt meines Wissens nur
> für alternierende Reihen.
>  [mm] (-1)^k [/mm] ist doch alternierend dann müßte [mm] (-1)^k*(-1)^k [/mm] auch noch alternierend sein?
> > Das Konvergenzintervall ist also -4<x<-2
> >
>
> [ok]
>  
> Gruß
>  MathePower
Bezug
                        
Bezug
Konvergenzintervall : Welche Frage?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Mi 28.09.2005
Autor: Loddar

Hallo stevarino!


Leider ist hier - falls vorhanden - Deine Frage nicht ganz klar erkenntlich ;-) ...


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzintervall : Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 Fr 30.09.2005
Autor: stevarino

Die Frage hat sich schon erledigt
Danke
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