Konvergenzen von Reihen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | c) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{a}-1)^n (a\ge1)
[/mm]
e) [mm] 1+\bruch{1*2}{1*3}+\bruch{1*2*3}{1*3*5}+...
[/mm]
[mm] f)\bruch{1}{100}+\bruch{1}{200}+\bruch{1}{300}+... [/mm] |
Hiho,
da bin ich wieder :D
Könnt ihr bitte kurz über Lösungsansatz zu c) drüber schauen?
c) Hab's mit Minorantenkriterium versucht, ist es so ok?
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}} [/mm] > [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}} [/mm] > [mm] \infty
[/mm]
=> [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n+1} [/mm] ist eine divergente Minorante und dadurch bewiesen das [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}} [/mm] auch divergiert.
ist das so richtig? Falls ja, ist dann der Antwortsatz auch in Ordnung?
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Hi,
> c) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}[/mm]
> d)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{a}-1)^n (a\ge1)[/mm]
> e)
> [mm]1+\bruch{1*2}{1*3}+\bruch{1*2*3}{1*3*5}+...[/mm]
> [mm]f)\bruch{1}{100}+\bruch{1}{200}+\bruch{1}{300}+...[/mm]
> Hiho,
>
> da bin ich wieder :D
>
> Könnt ihr bitte kurz über Lösungsansatz zu c) drüber
> schauen?
>
> c) Hab's mit Minorantenkriterium versucht, ist es so ok?
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
Als Minorante hätte ich [mm] \frac{1}{n} [/mm] genommen.
Die Minorante scheint mir ersichtlich. Aber eventll. solltest du auch noch zeigen, dass die Ungleichheit auch wirklcih stimmt. Je nachdem, wie neu das Thema auch ist.
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}[/mm] >
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}[/mm] > [mm]\infty[/mm]
>
> => [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n+1}[/mm] ist eine
> divergente Minorante
Ok, ich bin jetzt mal pingelig. Warum ist das eine divergente Reihe? => Harmonische Reihe. Das sollte man eventll. erwähnen.
> und dadurch bewiesen das
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}[/mm] auch
> divergiert.
>
> ist das so richtig? Falls ja, ist dann der Antwortsatz auch
> in Ordnung?
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n+1} [/mm] ist divergent. Aus Minorantenkriterium folgt, die Divergenz von [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}
[/mm]
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Gut, nun die anderen Aufgabe.
Bei e solltest du erkennen, dass es sich hier um Fakultäten handelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
Ja danke. Das mit harmonischer Reihe ist besser.
Die anderen Aufgaben kommen bald :D
Und kann man die ungleicheit auch mit Beispielen beweisen, oder doch lieber allgemein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{a}-1)^n (a\ge1) [/mm] |
Hi,
brauche etwas hilfe mit d)
Habe die Klammer umgeformt zu
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n+a) [/mm] (a>=1)
Nun weiss ich nicht, wie das weiter gehen soll. Das Leibniz Kriterium passt zu alternierenden Reihen. Nur hab ich es noch nie angewandt und mich stört das + vor a :(
Kann mir bitte jemand weiter helfen.
Gruß Stas
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Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{a}-1)^n (a\ge1)[/mm]
> Hi,
>
> brauche etwas hilfe mit d)
> Habe die Klammer umgeformt zu
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} ((-1)^n+a)[/mm] (a>=1)
>
Wo um alles in der Welt hast du das gelernt? Und ich dachte immer, das muss man mit der allg. Binomischen Formel machen...
Im Ernst, das ist sowas von falsch, da decken wir mal den Mantel des Schweigens drüber. 
Verwende hier zunächst, dass beim Asumultiplizieren der erste Summand tatsächlich a ist. Alle anderen Summanden sind von der Form
[mm]\wurzel[n]{a^k}[/mm]
mit k<n, und da könntest du ja jetzt in deinen Unterlagen nochmal selbst auf Recherche gehen, was da für [mm] n->\infty [/mm] passiert.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
ist das wirklich so falsch :( na toll
hab's so zusammen gereimt
[mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = [mm] a^\bruch{1}{n}
[/mm]
und [mm] (a^n)^b [/mm] = [mm] a^n^*^b
[/mm]
und das hab ich dann vermischt :D
aber das geht wohl nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
'Behauptung': [mm] 5^2=13
[/mm]
'Beweis': [mm] 5^2=(2+3)^2=2^2+3^2=4+9=13; [/mm] q.e.d.
Wo ist der Fehler?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
Studententrick: da da, da steht q.e.d., somit BEWIESEN! :P
Habs nun mit dem Wurzelkriterium gelöst
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(\wurzel[n]{a}-1)^n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}-1
[/mm]
= -1 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a^\bruch{1}{n}
[/mm]
= -1+1
= 0<1
=> da [mm] a_n [/mm] < 1 konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] absolut
das is doch gut oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Studententrick: da da, da steht q.e.d., somit BEWIESEN! :P
>
> Habs nun mit dem Wurzelkriterium gelöst
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(\wurzel[n]{a}-1)^n}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}-1[/mm]
> = -1
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a^\bruch{1}{n}[/mm]
> = -1+1
> = 0<1
> => da [mm]a_n[/mm] < 1 konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> absolut
>
> das is doch gut oder?
Nein. Du meinst vielleicht das Richtige.
Ist [mm] a_n=(\wurzel[n]{a}-1)^n, [/mm] so ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}=0<1, [/mm]
also ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] (absolut) konv.
FRED
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