Konvergenzbeweis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 So 05.08.2012 | | Autor: | KaJaTa |
| Aufgabe | Hallo :)
Ich habe folgendes Integral gegeben:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{f(\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{x^{3}}) dx}
[/mm]
und soll nachweisen, ob es konvergiert oder nicht. |
Ich habe Probleme dies geschickt mit dem Majorantenkriterium nachzuweisen. Ich weiß ganz sicher, dass das Integral konvergiert komme jedoch nicht auf die Abschätzung. (Falls das mit der Abschätzung der richtige Weg ist)
Hoffe es kann jemand helfen.
Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 So 05.08.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
also ohne Kenntnis der Funktion f kann man da keinerlei Aussage treffen, meiner Meinung nach.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 05.08.2012 | | Autor: | KaJaTa |
Sorry. Hab vergessen das f wegzumachen. Es soll nur der Bruch dastehen
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Hallo,
die Funktion g mit
[mm] g(x)=\bruch{\wurzel{2}}{x^2}
[/mm]
liefert dir hier eine konvergente Majorante. Wenn du dir das mit der Wurzel 2 mal genau und bei Licht betrachtest, solltest du die Abschätzung sehen. Beachte dabei auch unbedingt, dass deine untere Schranke 1 ist. Was gilt dann zwischen 1 und [mm] x^2 [/mm] für eine Relation? 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 So 05.08.2012 | | Autor: | KaJaTa |
Hallo, danke für die Antwort! :)
[mm] \wurzel{2} [/mm] ist gerade mal der kleinste Wert für den Zähler. Und damit das ganze eine Majorante bleibt (wenn man nur den Zähler kleiner macht wäre es ja eine Minorante?) wird der Nenner zusätlich um 1 erniedrigt, so dass man eine Majorante bekommt, da der Potzenen schneller wachsen als die Wurzel.
Vielen Dank. (Auf sowas soll mal jemand kommen ;))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 So 05.08.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
hm, entweder ich habe dich nicht richtig verstanden, oder du meinen Tipp noch nicht ganz durchschaut:
[mm] x\ge{1} [/mm] => [mm] 1\le{x^2}
[/mm]
Und damit:
[mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}}{x^3}\le\bruch{\wurzel{x^2+x^2}}{x^3}=\bruch{\wurzel{2x^2}}{x^3}=\bruch{\wurzel{2}*x}{x^3}=\bruch{\wurzel{2}}{x^2}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 So 05.08.2012 | | Autor: | KaJaTa |
Ah! Jetzt habe ich es komplett verstanden.
Danke nochmal :)
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