Konvergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Fr 17.06.2011 | | Autor: | BigDeal |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1.
[/mm]
Benutzen Sie dabei den dritten Term der Binomialentwicklung. |
Hallo,
macht dieser Konvergenzbeweis Sinn?
[mm] |\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N
[mm] y_n:=\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw (y_n+1)^n=n=1+ny_n+\vektor{n \\ 2}y_n^2+...+y_n^n \ge \vektor{n \\ 2}y_n^2 [/mm] (der dritte Term ist also [mm] \vektor{n \\ 2}y_n^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \varepsilon \ge \wurzel{\bruch{n}{\vektor{n \\ 2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \varepsilon^2 \ge {\bruch{n}{\vektor{n \\ 2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{n \\ 2}*\varepsilon^2 \ge [/mm] n
Soll das jetzt die Lösung sein, die dass N beschreibt, ab dem alle weiteren Folgenglieder im [mm] \varepsilon-Bereich [/mm] liegen?
Für mich sieht das irgendwie stark nach Nonsense aus.
Vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1.[/mm]
>
> Benutzen Sie dabei den dritten Term der
> Binomialentwicklung.
> Hallo,
> macht dieser Konvergenzbeweis Sinn?
>
> [mm]|\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
>
> [mm]y_n:=\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw (y_n+1)^n=n=1+ny_n+\vektor{n \\ 2}y_n^2+...+y_n^n \ge \vektor{n \\ 2}y_n^2[/mm]
das stimmt in der Tat, weil hier
[mm] $$1+ny_n+\vektor{n \\ 2}y_n^2+...+y_n^n [/mm] $$
ja alle Summanden (wir bräuchten eigentlich nur alle Summanden außer ${n [mm] \choose [/mm] 2} [mm] y_n^2$) [/mm] in der Tat [mm] $\ge [/mm] 0$ sind. (Die Abschätzung gilt für alle natürlichen $n [mm] \ge 2\,.$)
[/mm]
> (der dritte Term ist also [mm]\vektor{n \\ 2}y_n^2)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \varepsilon \ge \wurzel{\bruch{n}{\vektor{n \\ 2}}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \varepsilon^2 \ge {\bruch{n}{\vektor{n \\ 2}}}[/mm]
Hier habe ich auch keine Ahnung, was da gemacht wurde, da zudem ja das [mm] $y_n^2$ [/mm] unterschlagen wurde. (Nachträglicher Edit: Wenn man den Artikel zu Ende liest, wird man sehen, dass dort irgendwann klar wird, was hier gemacht wurde. Mir ist es beim nachträglichen Kontroll-Lesen klar geworden, was da gemacht wurde. Man kann es jetzt im Prinzip unten nachlesen!)
Sortieren wir es mal:
Unter Beachtung von [mm] $\sqrt[n]{n} \ge [/mm] 1$ (für alle natürlichen [mm] $n\,$) [/mm] gilt sicher mit
[mm] $$y_n:=|\sqrt[n]{n}-1|$$
[/mm]
auch
[mm] $$y_n=\sqrt[n]{n}-1\,.$$
[/mm]
Wir wollen also zeigen, dass [mm] $y_n \to [/mm] 0$ (denn genau dann gilt [mm] $\sqrt[n]{n}-1 \to [/mm] 0$ bzw. [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$).
Es gilt ja sicher [mm] $(\sqrt[n]{n})^n=n$ [/mm] und damit wegen [mm] $(\sqrt[n]{n})^n=(1+y_n)^n$ [/mm] auch
[mm] $$\sqrt[n]{n}^n=\blue{n=}(1+y_n)^n \blue{\ge {n \choose 2}y_n^2}$$
[/mm]
wegen obiger Abschätzung mittels der Binomialentwicklung. Die blau markierte Ungleichung
$$n [mm] \ge [/mm] {n [mm] \choose 2}y_n^2$$
[/mm]
ist nun eigentlich die, mit der Du arbeiten musst. Du musst ja [mm] $y_n\,$ [/mm] nach oben abschätzen, und weil bei dieser Ungleichung beide Seiten [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, kannst Du sie umschreiben [mm] ($\to$ [/mm] Wurzelziehen; Wurzel ist eine (streng) monoton wachsende Funktion!) zu
[mm] $$\blue{(\*)\;\;\;y_n \le \sqrt{n/{n \choose 2}}\,.}$$
[/mm]
Und jetzt kommt eigentlich der Teil, der oben gemacht wird: Zunächst beachtest Du, dass ${n [mm] \choose [/mm] 2}$ "ein Polynom vom Grad 2 in der Variablen [mm] $n\,$ [/mm] ist", denn:
$${n [mm] \choose 2}=n(n-1)/2=n^2/2-n/2\,.$$
[/mm]
Das erklärt sofort, dass $n/{n [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \to [/mm] 0$ gilt ($n [mm] \to \infty$). $\text{(}$Du [/mm] kannst das auch anders nachrechnen, etwa so:
$$n/{n [mm] \choose 2}=\frac{2n}{n^2-n}=\frac{2}{n-1} \to 0\,.\text{)}$$
[/mm]
Damit findest Du zu jedem noch so kleinem [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein [mm] $M\,$ [/mm] so, dass $n/{n [mm] \choose [/mm] 2} < [mm] \delta\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge M\,.$
[/mm]
Gibst Du Dir nun irgendein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vor, so ist zu zeigen, dass ein [mm] $N\,$ [/mm] existiert, so dass [mm] $y_n \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Betrachten wir [mm] $\delta:=\epsilon^2 [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert nach obiger Feststellung ein [mm] $M\,$ [/mm] so, dass
$$n/{n [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \le \delta=\epsilon^2$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] M$ gilt. Wir können beidseitig die Wurzel ziehen, da beidseitig Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ stehen, und da die Wurzelfunktion [mm] $[0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] (streng) monoton wächst, bleibt dann das Ungleichheitszeichen erhalten:
[mm] $$\sqrt{n/{n \choose 2}} \le \sqrt{\epsilon^2}=\epsilon$$
[/mm]
gilt für alle $n [mm] \ge M\,,$ [/mm] wobei man auch [mm] $\sqrt{a^2}=|a|=a$ [/mm] beachte, wobei [mm] $|a|=a\,$ [/mm] für $a [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Weil wir [mm] $y_n \le \sqrt{n/{n \choose 2}}$ [/mm] (siehe [mm] $\blue{(\*)}$) [/mm] wissen, folgt daher wegen der Transitiviaät von [mm] $\le$ [/mm] natürlich
[mm] $$y_n \le \epsilon$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N:=M\,.$
[/mm]
Daher:
Ja! Obiger Beweis ist in der Tat sinnvoll. Nur vielleicht schlecht notiert (auch, wenn ich den Beweis eigentlich noch deutlich sauberer strukturieren könnte. Aber vielleicht versuchst Du meine Argumente nochmal nachzuvollziehen und in eine für Dich nachvollziehbare Reihenfolge zu bringen.)
Gruß,
Marcel
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