Konvergenzbestimmung von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Entscheiden SIe ob, bei den nachfolgenden Folgen konvergenz oder divergenz vorliegt. und bestimmen Sie ggf. deren Limes!
(a) $ a_{n} = \bruch{n^{4}+\bruch{1}{n}}{3n^{4}+n^{2}} $
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Hallo,
ich habe mal ne frage dazu undzwar:
wenn ich das alles berechne, also
am besten erstmal zähler und nenner durch 4 teilen
$ a_{n} = \bruch{1+\bruch{1}{n^{5}}}{3+\bruch{1}{n^{2}} $
so dann weiß ich, dass die 1/n terme bei limes n-> \infty
0 werden
also bleibt über
$ \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} = \bruch{1}{3} $
so ich weiß jetzt das die folge konvergent ist das 1/3 das ergebnis des limes ist,
So meine frage jetzt wie schreibe ich das hin,
ich meine woher soll der kontrolleur wissen, dass meine beh.: a konvergent gegen 1/3 ist, auch wahr ist!
ich habe eine definition bekommen die ich auch noch hier jetzt mit angeben werde,
also
Def.: Eine Folge(a_{n}) \subset X in einem metrischen Raum (x,d) heißt konvergent gegen ein a \in X, wenn für eine beliebige Umgebung U von a gilt:
$ \exists n_{0} \in \IN \forall n \ge n_{0}: a_{n} \in U $.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
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> Entscheiden SIe ob, bei den nachfolgenden Folgen konvergenz
> oder divergenz vorliegt. und bestimmen Sie ggf. deren
> Limes!
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> (a) [mm]a_{n} = \bruch{n^{4}+\bruch{1}{n}}{3n^{4}+n^{2}}[/mm]
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> Hallo,
> ich habe mal ne frage dazu undzwar:
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> So meine frage jetzt wie schreibe ich das hin,
> ich meine woher soll der kontrolleur wissen, dass meine
> beh.: a konvergent gegen 1/3 ist, auch wahr ist!
Hallo,
ich glaube wirklich nicht, daß er da Zweifel haben wird...
Wenn Du ganz sicher gehen willst, erwähnst Du, daß es mit dem Quotienten zweier konvergenter Folgen zu tun hast.
Es ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a_n)}{b_n})=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}, [/mm] sofern [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergieren und [mm] b_0\not= [/mm] 0.
Wenn da steht
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{1}{n^{5}}}{3+\bruch{1}{n^{2}}[/mm]=1/3
und in Klammern "Quotient konvergenter Folgen) bist Du auf der sicheren Seite.
>Def.: Eine $ [mm] Folge(a_{n}) \subset [/mm] $ X in einem metrischen Raum (x,d) heißt konvergent gegen ein a $ [mm] \in [/mm] $ X, wenn für eine >beliebige Umgebung U von a gilt:
> $ [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}: a_{n} \in [/mm] U $.
Diese Definition entspricht der üblichen [mm] \varepsilon-Definition [/mm] für reelle Folgen, welche Du kennen solltest (und mußt. Prüfung...)
Aber in Deinem Beispiel braucht man nicht auf die Definition zurückzugehen, weil Deine Vorgehensweise durch bewiesene Sätze gesichert ist.
Gruß v. Angela
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