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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
Sei [mm] a_{n}\ge [/mm] 0 und die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] sei konvergent. Man zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{a_{n}}/n^{a}) [/mm] für jedes a > 1/2 konvergiert.
hat jemand eine idee, wie ich die Aufgabe lösen kann. ich hab es mit dem majorantenkriterium versucht, komm aber leider nicht weiter
liebe grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
ganz sicher bin ich mir da auch nicht. Aber folgender Gedanke: Das schreit nach Majorantenkriterium. Voraussetzungen dafür sind gegeben, da [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent mit [mm] a_n\ge{0}.
[/mm]
[mm] |\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}|=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}\stackrel{\mathrm{\red{a>\bruch{1}{2}}}}\le{\bruch{\wurzel{a_n}}{n^\bruch{1}{2}}}=\wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le{...}\le{a_n}
[/mm]
Weiter sollte es kein Problem sein.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
bis zu deinem schritt [mm] \wurzel{an/n} [/mm] hatte ich es auch ....aber weiter kann ich ja nicht, soll ich da noch mehr umformen?
liebe grüße
katey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> bis zu deinem schritt [mm]\wurzel{an/n}[/mm] hatte ich es auch
wenn du schon soweit warst, wäre es schön gewesen, du hättest deinen Lösungsansatz hier aufgeschrieben.
> ....aber weiter kann ich ja nicht, soll ich da noch mehr
> umformen?
Ja, du willst ja am Ende [mm] \le{a_n} [/mm] dastehen haben - Sieh' dir noch mal die genauen Satz des Majorantenkriteriums an.
> $ [mm] |\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}|=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}\stackrel{\mathrm{\red{a>\bruch{1}{2}}}}\le{\bruch{\wurzel{a_n}}{n^\bruch{1}{2}}}=\wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le{...}\le{a_n} [/mm] $
Überlegen wir mal:
Wir haben [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}, [/mm] wie können wir das nach oben abschätzen? Was passiert denn für [mm] n\ge{1}?
[/mm]
z.B. für n=1: [mm] \wurzel{\bruch{a_1}{1}}=\wurzel{a_1}
[/mm]
für n=2: [mm] \wurzel{\bruch{a_2}{2}}<\wurzel{a_2}
[/mm]
usw.
Es ist also: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le{\wurzel{a_n}}
[/mm]
Naja, und dann noch eine Abschätzung: Es ist [mm] \wurzel{a_n}\le{a_n}, [/mm] oder!
Gruß
barsch
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Es ist nicht ganz richtig, dass $ [mm] \wurzel{a_n}\le{a_n} [/mm] $;
denn da die Reihe konvergiert, muss [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergieren, also "am Schwanz" sind alle [mm] |a_n|<1 [/mm] und damit $ [mm] \wurzel{a_n}\ge{a_n} [/mm] $.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
achso....
ok jetzt hab ichs verstanden
danke schön :)
und noch einen schönen sonntagabend
liebe grüße
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Da man fast nichts über die Folge [mm] a_n [/mm] weiß, bietet sich nur so etwas wie ein Majoranten-Kriterium an. Das Problem liegt aber in Folgendem:
Die [mm] a_n [/mm] bilden eine Nullfolge, sind also irgendwann alle <1. Damit wird aber [mm] \wurzel{a_n}>a_n, [/mm] so dass [mm] a_n [/mm] selber (zunächst) als Majaorante entfällt. Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen: Wähle [mm] a_n=\bruch{1}{n^2}. [/mm] Bekanntermaßen konvergiert die Summe. Nehmen wir nun stattdessen [mm] \wurzel{a_n}=\bruch{1}{n}, [/mm] so divergiert die Summe.
Deshalb basteln wir uns eine Majorantenfolge zusammen, die konvergiert.
Festlegung: Für a>1/2 gelte: a=1/2+k/2 mit festem k>0.
Wir betrachten nun die Folge [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}.
[/mm]
für jedes Glied gilt: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge\bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}<\bruch{1}{n}.
[/mm]
1. Fall: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] (quadrieren)\Rightarrow \bruch{a_n}{n}\ge\bruch{1}{n^2}
[/mm]
(*n) [mm] \Rightarrow a_n\ge \bruch{1}{n} [/mm]
(Wurzel) [mm] \Rightarrow \wurzel{a_n}\ge\wurzel{\bruch{1}{n}}
[/mm]
(a) (* [mm] \wurzel{a_n}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}\ge \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] sowie
(b) (* [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}\ge \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}, [/mm] zusammengefasst somit
[mm] a_n=\wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}\ge \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n=\ge \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge \bruch{1}{n}
[/mm]
2. Fall: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}<\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] (quadrieren)\Rightarrow \bruch{a_n}{n}<\bruch{1}{n^2}
[/mm]
(*n) [mm] \Rightarrow a_n< \bruch{1}{n} [/mm]
(Wurzel) [mm] \Rightarrow \wurzel{a_n}<\wurzel{\bruch{1}{n}}
[/mm]
(a) (* [mm] \wurzel{a_n}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}< \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] sowie
(b) (* [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}< \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}, [/mm] zusammengefasst somit
[mm] a_n=\wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}< \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \wurzel{\bruch{a_n}{n}}< \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n< \wurzel{\bruch{a_n}{n}}< \bruch{1}{n}
[/mm]
Damit gilt für jeden Summanden:
0 [mm] \le \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le max(a_n|\bruch{1}{n}) [/mm] und damit
0 [mm] \le \wurzel{\bruch{a_n}{n^{1+k}}}=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^{1/2+k/2}}=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}\le max(\bruch{a_n}{n^{k/2}}|\bruch{1}{n^{1+k}})\le max(a_n|\bruch{1}{n^{1+k}})
[/mm]
-----------------------------
Nun haben wir eine [mm] Majorante:max(a_n|\bruch{1}{n^{1+k}})
[/mm]
Betrachte nun [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n [/mm] = S und
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{1+k}} [/mm] = T
Auch von der letzten Summe ist bekannt, dass sie konvergiert.
Dann ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (a_n+\bruch{1}{n^{1+k}}) [/mm] = S+T konvergent und damit auch
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_n}}{n^a} \le \summe_{i=1}^{\infty} max(a_n|\bruch{1}{n^{1+k}})
[/mm]
[mm] \le \summe_{i=1}^{\infty}(a_n+\bruch{1}{n^{1+k}})=\summe_{i=1}^{\infty}a_n +\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{1+k}} [/mm] = S+T.
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