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| Aufgabe | Bestimmen sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n-1}}{n^{n+1}}*x^n
[/mm]
Mein Lösungsansatz:
[mm] x_{0}=0
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{2^{n}}{2n^{2n}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{2^{n}}{2n^{2n}}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\bruch{1}{n^2}
[/mm]
[mm] r=n^2 [/mm] |
Schönen Guten Abend,
also irgendwas kann hier nicht stimmen könnte mir evtl wer weiter helfen ?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hi!
> Bestimmen sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n-1}}{n^{n+1}}*x^n[/mm]
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> [mm]x_{0}=0[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2^{n}}{2n^{2n}}[/mm]
[mm]n^{n+1}\not= n^{2n}[/mm]
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| Aufgabe | Neuer Lösungsansatz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n-1}}{n^{n+1}}x^n
[/mm]
[mm] x_{0}=0
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{2^{n-1}}{n^{n+1}}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{2^n}{(n+1)^{n+2}}
[/mm]
Ouotientenkriterium: [mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^n*n^{n+1}*2}{(n+1)^{n+2}*2^n}|
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{1^{n+2}} [/mm] |
Guten Tag zusammen,
ist mein zweiter Versuch besser gelungen?
Falls ja müsste r=1 sein oder?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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| Aufgabe | Hey Loddar,
Nächster Versuch:
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n}+\bruch{2}{1^{n+2}}
[/mm]
Vermutung:
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} \infty+0 [/mm] |
so kann das auch nicht stimmen ...
jetzt würde ich ja r=0 raus bekommen, da [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] = 0 ist.
Mein Problem ist das ich nicht so recht weiß wie ich mit dem Ausdruck [mm] (n+1)^{n+2} [/mm] umgehen soll, bitte um Hilfe?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo James Dean,
> Hey Loddar,
>
> Nächster Versuch:
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n}+\bruch{2}{1^{n+2}}[/mm]
??????
Wie kommst du dahin???????
Du hattest doch [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=...=\frac{2^n\cdot{}n^{n+1}\cdot{}2}{n^{n+2}\cdot{}2^n}[/mm]
Da kannst du doch erstmal die [mm]2^n[/mm] kürzen und im Nenner [mm]n^{n+2}[/mm] schreiben als [mm]n^{n+1}\cdot{}n[/mm]
Du bekommst also [mm]2\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\cdot{}\frac{1}{n}=\frac{2}{n}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}[/mm]
Was passiert hier für [mm]n\to\infty[/mm]?
>
> Vermutung:
>
> [mm]\bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty} \infty+0[/mm]
> so kann
> das auch nicht stimmen ...
> jetzt würde ich ja r=0 raus bekommen, da
> [mm]\bruch{1}{\infty}[/mm] = 0 ist.
> Mein Problem ist das ich nicht so recht weiß wie ich mit
> dem Ausdruck [mm](n+1)^{n+2}[/mm] umgehen soll, bitte um Hilfe?
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:10 Do 04.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
hey schachuzipus,
ich hatte:
[mm] \bruch{1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^n\cdot{}n^{n+1}\cdot{}2}{(n+1)^{n+2}\cdot{}2^n}| [/mm]
und nicht:
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=...=\frac{2^n\cdot{}n^{n+1}\cdot{}2}{n^{n+2}\cdot{}2^n}
[/mm]
oder kann man das auch so schreiben wie du das gemacht hast?
Mit freundlichen Grüßen
j.dean
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Do 04.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo James Dean,
es ist [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=2\cdot\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+2}}$.
[/mm]
Das ist das Gleiche wie [mm] $2\cdot\frac{n\cdot n^n}{(n+1)^2\cdot (n+1)^n}$ [/mm] = [mm] $\frac{2\cdot n}{(n+1)^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
[/mm]
Der reziproke Quotient ist [mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$.
[/mm]
Mit [mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2\cdot n\cdot e^{-1}}{(n+1)^2}\right)=0$.
[/mm]
Was für den Konvergenzradius bedeutet, dass [mm] $\cdots$?
[/mm]
Gruß
Kai
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| Aufgabe | Hey Kai,
also bis dahin ist alles noch nachvollziehbar:
[mm] \frac{2\cdot n}{(n+1)^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n
[/mm]
also durch die vertauschung des Quotienten bekomme ich [mm] \left(\frac{n+1}{n}\right)^n [/mm] muss man das machen?
Und was danach kommt verstehe ich nicht, muss die Aufgabe so kompliziert gelöst werden bzw. ist das der einzige Lösungsweg? |
Mit freundlichen Grüßen
j.dean
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Do 04.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo James Dean,
wie Du vermutest gibt es auch eine einfachere
Alternative, den Konvergenzradius zu zeigen.
Siehe dazu Marcel's Antwort.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 04.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Kai,
> also bis dahin ist alles noch nachvollziehbar:
>
> [mm]\frac{2\cdot n}{(n+1)^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/mm]
>
> also durch die vertauschung des Quotienten bekomme ich
> [mm]\left(\frac{n+1}{n}\right)^n[/mm] muss man das machen?
>
> Und was danach kommt verstehe ich nicht, muss die Aufgabe
> so kompliziert gelöst werden bzw. ist das der einzige
> Lösungsweg?
nein, ich hab' Dir nochmal den Lösungsweg "Berechnung des
Konvergenzradius entsprechend des Wurzelkriteriums" vorgeführt.
Aber was ist denn da oben kompliziert?
Ich rechne es nochmal: Es war [mm] $a_n=\tfrac{2^n}{2n^{n+1}}\,,$ [/mm] also
[mm] $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\tfrac{2^{n+1}}{2(n+1)^{n+2}}}{\tfrac{2^n}{2n^{n+1}}}=\frac{2^{n+1}*2n^{n+1}}{2(n+1)^{n+2}*2^n}=\frac{2*n*n^{n}}{(n+1)^2*(n+1)^{n}}\,,$$
[/mm]
also komme ich auf das Gleiche (ich wollte es nur nochmal nachrechnen!).
Und nun gilt
[mm] $$\frac{2\cdot n}{(n+1)^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{2\cdot n}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\frac{2\cdot n}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$$
[/mm]
Damit hast Du die Folge [mm] ${((1\;+\;1/n)^n)}_n$ [/mm] im Spiel, die man bekanntlich "sehr
gut kennt". Insbesondere ist sie durch den Wert ihres ersten Folgenglieds
nach unten beschränkt! (Uns würde reichen, "dass ab einem gewissen [mm] $N\,$
[/mm]
das verbleibende Restglied durch eine positive Zahl nach unten beschränkt ist"!)
Und damit kannst Du im Wesentlichen mit dem "Verhalten von [mm] $n/(n+1)^2$" [/mm] argumentieren,
was sich wiederum "i.W." auf das Verhalten von [mm] $n/n^2=1/n$ [/mm] reduziert(letzteres ist
sogar trivial, denn offenbar gilt $0 [mm] \le \tfrac{n}{(n+1)^2} \le \tfrac{n}{n^2}=\tfrac{1}{n}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Do 04.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Tausend Dank für deine wirklich hilfreiche Antwort Marcel. Durch die ausführliche Erklärung ist mir einiges klarer geworden.
Mit freundlichen Grüßen
j.dean
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Do 04.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n-1}}{n^{n+1}}*x^n[/mm]
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> [mm]x_{0}=0[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2^{n}}{2n^{2n}}[/mm]
richtig wäre gewesen:
[mm] $$a_n=\frac{2^n}{2n^{n+1}}=\frac{2^n}{2n\cdot n^n}\,.$$
[/mm]
Dann ist
[mm] $$\limsup \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup \frac{2}{\sqrt[n]{2}*\sqrt[n]{n}*n}$$
[/mm]
und wegen [mm] $\sqrt[n]{n},\sqrt[n]{2} \to [/mm] 1$ folgt
[mm] $$\limsup \sqrt[n]{|a_n|}=0\,.$$
[/mm]
Also ist der Konvergenzradius [mm] $\infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Fr 05.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Wenn man die Exponentialreihe kennt, kann man auch so vorgehen:
Wir setzen [mm] f_n(x):=\bruch{2^{n-1}}{n^{n+1}}*x^n [/mm] und [mm] g_n(x):=\bruch{(2x)^n}{n!} [/mm] (x [mm] \in \IR).
[/mm]
Wegen [mm] $2^{n-1} \le 2^n$ [/mm] und $n! [mm] \le n^{n+1}$ [/mm] ist
[mm] |f_n(x)| \le |g_n(x)| [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] \sum g_n(x) [/mm] konvergiert absolut in jedem x, also auch [mm] \sum f_n(x).
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Wenn man die Exponentialreihe kennt, kann man auch so
> vorgehen:
>
> Wir setzen [mm]f_n(x):=\bruch{2^{n-1}}{n^{n+1}}*x^n[/mm] und
> [mm]g_n(x):=\bruch{(2x)^n}{n!}[/mm] (x [mm]\in \IR).[/mm]
>
> Wegen [mm]2^{n-1} \le 2^n[/mm] und [mm]n! \le n^{n+1}[/mm] ist
>
> [mm]|f_n(x)| \le |g_n(x)|[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> [mm]\sum g_n(x)[/mm] konvergiert absolut in jedem x, also auch [mm]\sum f_n(x).[/mm]
das ist auch eine interessante Lösungsmethode! 
(Nur als Hinweis, falls es jemand nicht (sofort) sieht:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty |g_n(x)|=\sum_{n=0}^\infty \frac{|2x|^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2|x|)^n}{n!}=\exp(2\,|x|)\,.$ [/mm]
Und zudem beachte man, dass in vollständigen Räumen absolute Konvergenz
auch Konvergenz impliziert!)
Gruß,
Marcel
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Huch! Wie kommst Du plötzlich auf diesen Term? Das stimmt so nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
