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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 24.05.2008 | | Autor: | UE_86 |
| Aufgabe | Man bestimme den Konvergenzbereich folgender Potenzreihe
f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm] |
Hallo,
bin gerade an dieser Aufgabe dran, aber bin mir nicht sicher, ob ich so vorgehen kann, wie ich vorgegangen bin.
Ich habe mir überlegt hier 2n+1 = z zu substituieren und habe dann [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{z}) [/mm] = 1
Allerdings bezweifle ich gerade, dass das richtig ist. Sind meine Zweifel hier berechtigt? Und wenn ja, wie wäre der korrekte Ansatz?
MFG
UE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man bestimme den Konvergenzbereich folgender Potenzreihe
> f(x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> Hallo,
>
> bin gerade an dieser Aufgabe dran, aber bin mir nicht
> sicher, ob ich so vorgehen kann, wie ich vorgegangen bin.
>
> Ich habe mir überlegt hier 2n+1 = z zu substituieren und
> habe dann [mm]\limes_{z\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{z})[/mm] =
> 1
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> Allerdings bezweifle ich gerade, dass das richtig ist. Sind
> meine Zweifel hier berechtigt? Und wenn ja, wie wäre der
> korrekte Ansatz?
ich verstehe Deinen *Ansatz* nicht. Obige Reihe hat die Form
[mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$, [/mm] wobei
[mm] $a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \in \IN \mbox{ und } n \mbox{ gerade} \\0, &\mbox{ für }n=1\\ \frac{(-1)^{k}}{2k+1}, & \mbox{für } n=2k+1 \mbox{ mit einem } k \in \IN_0 \end{cases}$
[/mm]
Folglich ist (beachte die Kopplung $n=n(k)$, d.h. $n$ und $k$ "hängen voneinander ab")
[mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\limsup_{\blue{(n \to \infty \mbox{ und }n=2k+1\mbox{ mit einem }k \in \IN_0)}}\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^k}{2k+1}\right|}}=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[2k+1]{\left|\frac{(-1)^k}{2k+1}\right|}}$ [/mm] zu berechnen, um den Konvergenzradius dieser Potenzreihe anzugeben.
Alternativ: Es gilt folgendes:
[mm] $(\star)$ $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x*\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}=x*\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^n$ [/mm] mit der Substitution [mm] $z:=x^2$. [/mm] Dann berechnest Du für [mm] $(\star_2)$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^n$ [/mm] wie gewohnt den Konvergenzradius in der Variablen $z$ mittels:
[mm] $(\star_3)$ $R_z=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^n}{2n+1}\right|}}$
[/mm]
Nun weißt Du, dass [mm] $(\star_3)$ [/mm] bedeutet: Die Reihe aus [mm] $(\star_2)$ [/mm] konvergiert für alle $z$ mit $|z| < [mm] R_z$ [/mm] und divergiert für alle $z$ mit $|z| > [mm] R_z$. [/mm] Wegen [mm] $z=x^2$ [/mm] folgt dann für die in der Gleichungskette [mm] $(\star)$ [/mm] auftretende Reihe:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}$ [/mm] konvergiert für alle $x$ mit [mm] $|x^2|=|x|^2 [/mm] < [mm] R_z$ [/mm] und divergiert für alle $x$ mit [mm] $|x^2|=|x|^2 [/mm] > [mm] R_z$. [/mm] Daran erkennt man, dass dann [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}$ [/mm] und damit wegen [mm] $(\star)$ [/mm] auch [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $R=R_x=\sqrt{R_z}$ [/mm] hat (wobei in dem hier speziell aufgeführten Falle [mm] $R_x=R_z \not=0$ [/mm] gilt, wie Du sicher leicht erkennen wirst, wenn Du z.B. [mm] $R_z$ [/mm] mal ausgerechnet hast).
Ich nehme mal an, dass obige Funktion $f=f(x)$ für $x [mm] \in \IR$ [/mm] definiert ist. Dass $f(1)$ und $f(-1)$ existieren (d.h., dass die Reihe rechterhand für diese Werte jeweils (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergiert), erkennst Du leicht mit ![[]](/images/popup.gif) Leibniz [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken!).
Gruß,
Marcel
[/mm]
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Die Reihe konvertiert, wenn man eine geometrische Reihe mit |q|<1 als Majorante findet; sie divergiert, wenn man eine geometrische Reihe mit |q|>1 als Minorante findet.
Betrachte zwei aufeinanderfolgende Summanden [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1}. [/mm] Der Quotient ist dann
[mm] q=\bruch{a_{n+1}}{a_n}=-\bruch{\bruch{x^{2n+3}}{2n+3}}{\bruch{x^{2n+1}}{2n+1}}=-x^2\bruch{2n+1}{2n+3}.
[/mm]
Das heißt: Wenn [mm] x^2=q*\bruch{2n+3}{2n+2} [/mm] ist für [mm] n-->\infty [/mm] für ein q mit |q|<1, so konvergiert die Reihe, weil es eine entsprechende geometrische Reihe als Majorante gibt; gilt das für |q|>1, so divergiert die Reihe. Der Konvergenzradius liegt also da, wo q=1 ist. Damit ist
[mm] R=|x|=\wurzel{\bruch{2n+3}{2n+2}} [/mm] für [mm] n-->\infty, [/mm] also R=1
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Reihe konvertiert, wenn man eine geometrische Reihe mit
mir sind religiöse Reihen bis dato unbekannt. Ich denke, wir bleiben bei der üblichen mathematischen Sprache und sagen, dass die Reihe konvergiert bzw. divergiert. Übrigens kann man bei derartigen Reihen natürlich in der Tat das Wurzelkriterium (und damit auch öfters mal das Quotientenkriterium) anwenden, denn Cauchy-Hadamard ist ja im Prinzip nichts anderes als das Wurzelkriterium speziell für Potenzreihen. Und es gibt ja enge Zusammenhänge zwischen dem Wurzel- und Quotientenkriterium. Aber ein Student sollte meiner Ansicht nach sowohl in der Lage sein, dass Quotienten-/Wurzelkriterium direkt anzuwenden sowie auch in der Lage sein, Cauchy-Hadamard sofort anzuwenden. Wenn man Cauchy-Hadamard mal vergessen haben sollte: Dieser Satz läßt sich in ein paar Zeilen sofort aus dem Wurzelkriterium, auf Potenzreihen angewendet, folgern. Ich habe das schon so oft im Forum geschrieben, dass ich mir das jetzt hier erspare...
Also:
Nur als Ergänzung zu Deiner ergänzenden Antwort, bei der ich nur gerne das rotmarkierte Wort oben berichtigt haben möchte 
Gruß,
Marcel
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