Konvergenzarten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Do 22.11.2012 | | Autor: | Freaky |
| Aufgabe | Is almost sure convergence equivalent to convergence in probability if Ω is
countable? |
Hallo zusammen,
ich habe bei obiger Aufgabe keine Idee, wie ich es beweisen bzw. gegebenenfalls ein Gegenbeispiel konstruieren könnte und bin daher über jeden Hinweis dankbar.
Freaky
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Hiho,
schau dir einfach mal die wandernden Türme an.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Freaky |
Hallo noch 'mal,
was sind denn die wandernden Türme?
Gruß, Freaky
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Hiho,
> was sind denn die wandernden Türme?
ein bisschen Recherche in gängiger Standardlektüre für Stochastik wäre schon angebracht.....
Betrachte:
[mm] $f_n [/mm] = [mm] 1_{\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{k+1}{2^m}\right]}$ [/mm] mit [mm] $n=2^m [/mm] + k, [mm] k\in\\left{0,\ldots,2^m - 1\right\}$
[/mm]
Wogegen konvergiert [mm] f_n [/mm] stochastisch, wogegen fast sicher?
MFG,
Gono.
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Hi Gonozal,
aber ist das nicht ein Gegenbeispiel für stoch. Konv [mm] \not\Rightarrow [/mm] fast sichere Konvergenz?
In deinem Beispiel ist der Raum doch auch überabzählbar, in der Aufgabe jedoch abzählbar.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> aber ist das nicht ein Gegenbeispiel für stoch. Konv
> [mm]\not\Rightarrow[/mm] fast sichere Konvergenz?
> In deinem Beispiel ist der Raum doch auch überabzählbar, in der Aufgabe jedoch abzählbar.
Ja, aber die Idee ist die selbe.
Schneide das Intervall mit [mm] \IQ [/mm] und das Resultat bleibt dasselbe!
In diesem Sinne ist deine andere Antwort auch falsch.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > aber ist das nicht ein Gegenbeispiel für stoch. Konv
> > [mm]\not\Rightarrow[/mm] fast sichere Konvergenz?
> > In deinem Beispiel ist der Raum doch auch
> überabzählbar, in der Aufgabe jedoch abzählbar.
>
> Ja, aber die Idee ist die selbe.
> Schneide das Intervall mit [mm]\IQ[/mm] und das Resultat bleibt
> dasselbe!
Nein, das denke ich nicht. Das auf [mm] $\IQ$ [/mm] eingeschränkte Lebesgue-Maß macht keinen Sinn mehr.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Nein, das denke ich nicht. Das auf [mm]\IQ[/mm] eingeschränkte
> Lebesgue-Maß macht keinen Sinn mehr.
Sinn macht es schon, es ist nur kein W-Maß mehr.
MFG,
Gono.
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Hallo Freaky,
die Aussage ist wahr. D.h. für abzählbare Grundräume sind die Konvergenzen äquivalent.
Du musst also die Abzählbarkeit des Grundraums deutlich in deinen Beweis einfließen lassen. Es gelte [mm] $X_n \to [/mm] X$ stochastisch.
Angenommen, es gilt NICHT [mm] $X_n \to [/mm] X$ fast sicher.
Dann gibt es wegen der Abzählbarkeit von [mm] $\Omega$ [/mm] (mach dir das klar) ein [mm] $\omega_0 \in \Omega$ [/mm] mit [mm] $X_n(\omega_0) \not\to X(\omega_0)$ [/mm] und [mm] $\IP(\{\omega_0\}) [/mm] > 0$.
Leite nun einen Widerspruch zur stochastischen Konvergenz her.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:48 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Dann gibt es wegen der Abzählbarkeit von [mm]\Omega[/mm] (mach dir das klar) ein [mm]\omega_0 \in \Omega[/mm] mit [mm]X_n(\omega_0) not\to X(\omega_0)[/mm] und [mm]\IP(\{\omega_0\}) > 0[/mm].
so ein [mm] \omega_0 [/mm] muss es nicht geben.
Bspw. in [mm] $(\IQ \cap [0,1],\mathcal{B}(\IQ \cap [0,1]),\lambda)$ [/mm] gilt [mm] $\lambda(\omega_0) [/mm] = 0$ für alle [mm] $\omega_0 \in \IQ \cap [/mm] [0,1]$
MFG,
Gono.
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Hallo Gonozal,
> > Dann gibt es wegen der Abzählbarkeit von [mm]\Omega[/mm] (mach dir
> das klar) ein [mm]\omega_0 \in \Omega[/mm] mit [mm]X_n(\omega_0) not\to X(\omega_0)[/mm]
> und [mm]\IP(\{\omega_0\}) > 0[/mm].
>
> so ein [mm]\omega_0[/mm] muss es nicht geben.
> Bspw. in [mm](\IQ \cap [0,1],\mathcal{B}(\IQ \cap [0,1]),\lambda)[/mm]
> gilt [mm]\lambda(\omega_0) = 0[/mm] für alle [mm]\omega_0 \in \IQ \cap [0,1][/mm]
Das [mm] $\lambda$ [/mm] in deinem Beispiel ist offensichtlich kein Wahrscheinlichkeitsmaß. Ich sehe also nicht, warum das ein Gegenbeispiel ist.
So ein [mm] $\omega_0$ [/mm] gibt es, weil mit einer Menge $N$ mit [mm] $\IP(N) [/mm] > 0$ sonst
[mm] $\IP(N) [/mm] = [mm] \IP\left(\sum_{\omega \in N}\{\omega\}\right) [/mm] = [mm] \sum_{\omega \in N}\IP(\{\omega\}) [/mm] = 0$
wäre (beachte N abzählbar da [mm] $\Omega$ [/mm] abzählbar).
Viele Grüße,
Stefan
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:09 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
du hast natürlich recht, entschuldige die Verwirrung.
Gruß,
Gono.
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