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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich möchte zeigen das die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n} [/mm] konvergiert für |x|<1.
Quotientenkriterium,Wurzelkrit,Leibitz und Majoranten/Minorantenkrit sind bekannt.
Bei den Potenzreihen wirds schwierig.
Danke im Voraus
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Hallo racy,
> Ich möchte zeigen das die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n}[/mm] konvergiert für |x|<1.
Das müsste wohl [mm] \summe_{\blue{n}=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n} [/mm] heißen.
> Quotientenkriterium,Wurzelkrit,Leibitz und
> Majoranten/Minorantenkrit sind bekannt.
Na, mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium müsste es doch klappen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
Ich habe es mal mit dem Quotientenkrit. versucht und komme nach ein wenig kürzen
zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{xn}{n+1} [/mm] und das soll nun konvergent sein??
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Hallo,
> Ich habe es mal mit dem Quotientenkrit. versucht und komme
> nach ein wenig kürzen
>
> zu [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{xn}{n+1}[/mm] und das soll
> nun konvergent sein??
Was heißt hier "soll"? Überprüf es!
Was besagt denn das Quotientenkriterium? Wann ist es erfüllt?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
naja wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{xn}{n+1}vorhanden [/mm] ist und <1 ist
da der Nenner größer wird als der Zähler würde ich sagen das ganze geht gegen 0.
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Hallo racy90,
> naja wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{xn}{n+1}vorhanden[/mm] ist und
> <1 ist
>
> da der Nenner größer wird als der Zähler würde ich
> sagen das ganze geht gegen 0.
Dem ist nicht so.
Berechne doch den Grenzwert
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{n}{n+1}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
aso also muss ich den Lopital anwenden und komme schließlich auf den Grenzwert x.
Aber sollte der Grenzwert nicht eine Zahl oder unendlich sein?
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Hallo racy90,
> aso also muss ich den Lopital anwenden und komme
> schließlich auf den Grenzwert x.
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Den Grenzwert kannst Du auch ohne L'Hospital bestimmen.
> Aber sollte der Grenzwert nicht eine Zahl oder unendlich
> sein?
Ich hatte die Berechnung des Grenzwertes von
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}{\bruch{n}{n+1}}[/mm]
gestellt. Dies ist natürlich eine Zahl.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
der Grenzwert von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1} [/mm] =1
Nachdem man Lopital angewendet hat.
Aber was sagt das x bei meinen Grenzwert aus?
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Hallo nochmal, lies mal meine Antwort direkt hier drunter im Thread.
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Hallo nochmal,
> aso also muss ich den Lopital anwenden und komme
> schließlich auf den Grenzwert x.
[mm] \bruch{n}{n+1}=\bruch{n\blue{+1-1}}{n+1}=\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{1}{n+1}=1-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Damit ist der Grenzwert eben auch ohne L'Hospital zu bestimmen.
> Aber sollte der Grenzwert nicht eine Zahl oder unendlich
> sein?
x ist eine Zahl, und in der Aufgabe war eine Aussage zu ihrer Größe getroffen. Diese Aussage ist nun wesentlich für das Quotientenkriterium!
Schau nochmal nach - auch, was die Bedingung des Quotientenkriteriums angeht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
Danke ,ich glaub ich habs jetzt verstanden ;)
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Schau mal in Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium nach. Bei Deiner Reihe ist es erfüllt, weil |x|<1 ist.
...und jetzt könntest Du noch zur Übung das Wurzelkriterium ausprobieren. 
lg
rev
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