Konvergenz? welcher Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute,
Folgende Frage beschäftigt mich grade denke sie ist eigentlich nicht so schwer trotzdem komme ich grade nicht weiter.
Die Positive Zahl h [mm] \in \IR [/mm] sei bestimmt durch das Verhältnis
[mm] \bruch{1}{h}=\bruch{h}{1-h}
[/mm]
Es sei [mm] x_0=1 [/mm] und weiter [mm] x_{n+1}=1+\bruch{1}{x_n}.
[/mm]
Konvergiert die Folge [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] und wenn ja welchen Grenzwert hat sie?
also die Folge ist ja rekursiv würde ich sagen
[mm] x_0=1
[/mm]
für [mm] n=0;x_1=1+1=2
[/mm]
[mm] n=1;x_2=1+0,5=1,5
[/mm]
....
Die Zahl wird immer kleiner also denke sie konvergiert weiss jetzt aber nicht wie ich das Verhältniss was ich oben angegeben habe verwenden kann um die Aufgabe zu lösen ...
Hoffe ihr könnt mir helfen/mich anstossen
Grüße
|
|
| |
|
Hiho,
> Es sei [mm]x_0=1[/mm] und weiter [mm]x_{n+1}=1+\bruch{1}{x_n}.[/mm]
> Konvergiert die Folge [mm]x_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] und wenn ja welchen Grenzwert hat sie?
Zumindest die letzte Frage ist relativ leicht zu beantworten.
Konvergiert sie, so konvergieren [mm] x_{n+1} [/mm] und [mm] x_n [/mm] gegen denselben Grenzwert x und Grenzwertbildung auf beiden Seiten liefert.
[mm]x=1+\bruch{1}{x}[/mm]
Umstellen nach x liefert zwei Lösungen, von denen nur eine sinnvoll ist.
Hier kommt auch der Hinweis von Beginn ins Spiel, es ist:
$x = [mm] 1+\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1+x}{x}$
[/mm]
Kehrwertbildung und Substitution von $x = -h$ liefert:
[mm] $\bruch{1}{h} [/mm] = [mm] \bruch{h}{1-h}$
[/mm]
also die Gleichung von Beginn.
Bleibt zu zeigen: [mm] $x_n$ [/mm] konvergiert.
Ihr hattet bestimmt den Satz: Eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.
Zeige also: [mm] x_n [/mm] ist monoton und beschränkt.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
hey erstmal danke für deine ausführliche Antwort !
Annahme [mm] x_n [/mm] ist monoton fallend [mm] also:a_{n+1}<=a_n
[/mm]
[mm] 1+\bruch{1}{x+1}<=1+\bruch{1}{x}
[/mm]
Für alle [mm] x\in \IR+
[/mm]
monoton steigend:
[mm] 1+\bruch{1}{x+1}>=1+\bruch{1}{x}
[/mm]
Für alle [mm] x\in \IR-
[/mm]
untere [mm] Schranke:x_n>1 [/mm] Für alle [mm] x\in \IR+
[/mm]
obere [mm] Schranke:x_n<1 [/mm] Für alle [mm] x\in \IR-
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_n [/mm] ist beschränkt und monoton [mm] \Rightarrow x_n [/mm] konvergiert
wie lautet der Grenzwert?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1+\bruch{1}{x} [/mm]
(bruch{1}{infty} ) [mm] \Rightarrow [/mm] geht gegen 0 also ist der Grenzwert 1.
Jetzt weiss ich aber nicht ob es reicht um zb. Monotonie zu zeigen das einfach so hinzuschreiben wie ich es oben gemacht habe oder ob ich das dann nicht noch zb. durch inuktion zeigen muss das es wirklich für die angegebene Zahlenmenge gilt hmm habe mir halt die Folge als Funktion im Plotter angeschaut und dann so alles zusammengebastelt :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Sa 28.11.2015 | | Autor: | Jule2 |
Also so geht das nicht! Induktion ist hier schon das Mittel der Wahl!
Also zeige die Folge ist monoton steigend und beschränkt (mittels Induktion)durch den Grenzwert dessen Berechnung dir ja schon im vorherigen Post mitgeteilt wurde!!
Gruß Jule
|
|
|
|
