Konvergenz von zwei Integralen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) [mm] \integral_{\gamma}^{}{e^{z^2} dz} [/mm] mit [mm] \{\gamma: z=se^{i\alpha}, -\infty
(ii) [mm] \integral_{\gamma}^{}{e^{1/z} dz} [/mm] mit [mm] \{\gamma: z=se^{i\alpha}, 0\le s\le 1\} [/mm] |
Ich würde nun gerne den Bereich von [mm] \alpha [/mm] bestimmen für die die Integrale konvergieren. Ich habe in meinen Aufzeichnungen folgende Werte stehen,
(i) [mm] \pi/4\le\alpha\le3\pi/4 [/mm] oder [mm] 5\pi/4\le\alpha\le 7\pi/4
[/mm]
(ii) [mm] \pi/2\le\alpha\le 3\pi/2
[/mm]
Meine Frage ist nun wie genau man auf diese Werte gekommen ist, ich bin gerade etwas planlos, vlt könnt ihr mir weiterhelfen.
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Bei a) erhältst du [mm]\mathrm{d}z = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} ~ \mathrm{d} s[/mm]. Die Parametrisierung liefert daher formal das folgende Integral:
[mm]\int_{\gamma} \operatorname{e}^{z^2} ~ \mathrm{d} z \ \ = \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{s^2 \operatorname{e}^{2 \operatorname{i} \alpha}} ~ \mathrm{d}s \ \ = \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{s^2 \cos(2 \alpha)} \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot s^2 \sin(2\alpha)} ~ \mathrm{d}s[/mm]
Für die absolute Konvergenz untersucht man das Integral über den Betrag, also
[mm]\int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{s^2 \cos(2 \alpha)} ~ \mathrm{d}s[/mm]
Damit dieses Integral konvergiert, muß [mm]s^2 \cos(2 \alpha)[/mm] negativ sein. Für welche [mm]\alpha[/mm] ist das der Fall?
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Danke für deine Antwort, für [mm] cos(2\alpha)\le [/mm] 0 erhalte ich genau das gesuchte Ergebnis, im 2.Fall bin ich nun genauso vorgegangen und erhalte
[mm] e^{i\alpha}\integral_{0}^{1}{e^{\bruch{1}{s}\cos(\alpha)}e^{-\bruch{1}{s}i\sin(\alpha)} ds}
[/mm]
daher muss [mm] \bruch{1}{s}cos(\alpha)\le [/mm] 0, also [mm] $\pi/2\le\alpha\le 3\pi/2$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Di 28.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort, für [mm]cos(2\alpha)\le[/mm] 0 erhalte
> ich genau das gesuchte Ergebnis, im 2.Fall bin ich nun
> genauso vorgegangen und erhalte
>
> [mm]e^{i\alpha}\integral_{0}^{1}{e^{\bruch{1}{s}\cos(\alpha)}e^{-\bruch{1}{s}i\sin(\alpha)} ds}[/mm]
>
> daher muss [mm]\bruch{1}{s}cos(\alpha)\le[/mm] 0, also
> [mm]\pi/2\le\alpha\le 3\pi/2[/mm]
Das passt.
FRED
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Ich habe hier noch ein ähnlices integral bei dem ich Probleme habe.
[mm] \integral_{\gamma}^{}{(1+\tanh z) dz} [/mm] wobei [mm] z=se^{i\alpha} 0\le s<\infty
[/mm]
Dann erhalte ich [mm] e^{i\alpha} \integral_{0}^{\infty}{(1+\tanh se^{i\alpha}
h) ds}
[/mm]
Für welche [mm] \alpha [/mm] konvergiert das nun?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 12.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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