Konvergenz von reellen Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Di 30.11.2004 | | Autor: | Johlanda |
Wie kann ich die Konvergenz einer reellen Folge nachweisen?
Z.B. der Folge der arithmetischen Mittel
[mm] a:=\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}(x_{1},....,x_{n})?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Di 30.11.2004 | | Autor: | Johlanda |
Ich hatte folgende Idee, geht das?
Schreibe [mm] (x_{1},....,x_{n}) [/mm] als n*x + [mm] h_{i} [/mm] mit [mm] h_{i} [/mm] konvergiert gegen 0.
[mm] \rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \bruch {1}{n}(x*n+h_{i}) [/mm] = x
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[mm] x_n \to [/mm] x
für ein beliebiges [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es folglich ein [mm] n_0 [/mm] für das gilt:
n [mm] \ge n_0 \Rightarrow |x_n [/mm] - x| < [mm] \bruch{ \varepsilon}/2
[/mm]
Wir behaupten nun, dass die reihe [mm] a_n \to [/mm] x konvergiert.
Das gilt genau dann, wenn [mm] a_n [/mm] - x [mm] \to [/mm] 0 gilt.
es folgt:
[mm] |(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n}x_i)-a| \le (\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}|(x_i-a)| [/mm] = ...
nun nehmen wir die ersten [mm] n_0 [/mm] Summanden und nenne sie einfach A, denn es ist sowieso irgendeine endliche Zahl. den Rest schätzen wir mit [mm] \bruch {\varepsilon}{2} [/mm] nach oben ab.
es folgt:
... = [mm] (\bruch{1}{n}(A [/mm] + [mm] \summe_{i=n_0+1}^{n}|(x_i-a)|=
[/mm]
= [mm] \bruch{A}/{n} [/mm] + [mm] (n-n_0-1)*\bruch{\varepsilon}{2}*\bruch{1}{n} [/mm] =
= [mm] \bruch{A}/{n} +(1-\bruch{n_0-1}{n})*\bruch{\varepsilon}{2} \le
[/mm]
[mm] \le \bruch{A}/{n} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} \le [/mm] ...
A/n ist eine Nullfolge, ist gilt also ab einem [mm] n_1 \bruch{A}{n} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
für n [mm] \ge max(n_0,n_1) [/mm] gilt also
... [mm] \le \bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}=\varepsilon
[/mm]
Wir erinnern uns: [mm] \varepsilon [/mm] war beliebig. Folglich handelt es sich tatsächlich um eine Nullfolge und sie [mm] a_n \to [/mm] x.
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