Konvergenz von komplexen Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 09.12.2012 | | Autor: | baxbear |
| Aufgabe | | http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsopt/lehre_neu/pickenh/ws12/AN2012_08.pdf - alle Aufgaben |
Hiho,
wollte fragen ob ihr mir helfen könntet mit der 2. Aufgabe?
Also konvergent ist eine Folge ja, wenn sie monoton ist und einen Grenzwert hat. Nun kann ich die Monotonie einer komplexen Folge schlecht zeigen, da die komplexen Zahlen keine Ordnung haben, also hab ich nur die Grenzwerte bestimmt.
[mm] \lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+n\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(\frac{1}{n})}{n(\frac{1}{n}+i)}=0\\
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}\frac{4n}{5n-3\sqrt{n}\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(4)}{n(5-\frac{3\cdot i}{\sqrt{n}})}=0\\
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}\frac{i^n}{i\cdot n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{-1}^n}{i*n}=0 [/mm] (laut wolframalpha die einzigste Folge die [mm] konvergiert)\\
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}=(1 [/mm] und -1)? (laut wolframalpha kommt irgendwas raus was ich nicht verstehe [mm] \lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n} [/mm] = exp((2 i) 0 to pi))
So nun wollte ich wissen wie ich die Konvergenz richtig zeige?
Außerdem wollte ich kurz fragen ob es richtig ist, dass bei Aufgabe 23 nur d eine Metrik definiert?
Äh Häufungspunkte muss ich mir nochmal angucken, dazu braucht ihr noch nichts sagen. Wenn ich das nicht verstehe melde ich mich wieder.
Danke schonmal für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 So 09.12.2012 | | Autor: | abakus |
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> http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsopt/lehre_neu/pickenh/ws12/AN2012_08.pdf
> - alle Aufgaben
> Hiho,
>
> wollte fragen ob ihr mir helfen könntet mit der 2.
> Aufgabe?
> Also konvergent ist eine Folge ja, wenn sie monoton ist
> und einen Grenzwert hat. Nun kann ich die Monotonie einer
> komplexen Folge schlecht zeigen, da die komplexen Zahlen
> keine Ordnung haben, also hab ich nur die Grenzwerte
> bestimmt.
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+n\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(\frac{1}{n})}{n(\frac{1}{n}+i)}=0\\
[/mm]
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{4n}{5n-3\sqrt{n}\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(4)}{n(5-\frac{3\cdot i}{\sqrt{n}})}=0\\
[/mm]
Hallo,
da komme ich auf 4/5.
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{i^n}{i\cdot n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{-1}^n}{i*n}=0[/mm]
> (laut wolframalpha die einzigste Folge die [mm]konvergiert)\\
[/mm]
> [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}=(1[/mm] und -1)?
Außer diesen beiden Häufungspunkten gibt es auch noch die Häufungspunkte i und -i (für ungerade n). Auf alle Fälle haben wir hier keine Konvergenz.
Gruß Abakus
> (laut
> wolframalpha kommt irgendwas raus was ich nicht verstehe
> [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}[/mm] = exp((2 i) 0 to pi))
>
> So nun wollte ich wissen wie ich die Konvergenz richtig
> zeige?
> Außerdem wollte ich kurz fragen ob es richtig ist, dass
> bei Aufgabe 23 nur d eine Metrik definiert?
>
> Äh Häufungspunkte muss ich mir nochmal angucken, dazu
> braucht ihr noch nichts sagen. Wenn ich das nicht verstehe
> melde ich mich wieder.
>
> Danke schonmal für die Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 09.12.2012 | | Autor: | baxbear |
äh ja 4/5 hatte ich auch, hab bloß beim abtippen nicht den Fehler gemerkt.
Wie zeige ich jetzt aber das die ganzen Folgen die einen Grenzwert haben nicht konvergieren?
und wie verstehe ich den grenzwert der letzten Folge den Wolfram Alpha da ausgibt und wie berechne ich den selber?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 10.12.2012 | | Autor: | baxbear |
Wie kann ich denn nun die Konvergenz der Folgen bestimmen? Bzw. zeigen, dass sie nicht konvergent sind?
wenn ich bei der ersten folge zeige, dass [mm] z_n [/mm] < oder > 0 ist erhalte ich i < 0 oder i > 0.
Wie also zeige ich, dass die Folgen nicht konvergieren? Wie finde ich dann die Häufungspunkte vermuten und einfach dann zeigen dass es welche sind? Oder geht das ohne Rätselraten?
BITTE ANTWORTET DOCH AUF MEINEN THREAD
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:21 Di 11.12.2012 | | Autor: | baxbear |
Warum bekomm ich keine Hilfe?
Ich meine ich hab die Frage so zeitig gestellt. Ich sitz die ganze Zeit an den Aufgaben und komm nicht weiter und absolut keiner kann oder will mir helfen. Ich versteh das einfach nicht.
Ich muss die heute um 13 Uhr abgeben und bin immer noch nicht weiter wozu fragt man überhaupt in nem Matheforum.
Den einzigen Tipp den ich bekommen hab, ist dass ich mich bei einem Grenzwert vertippt habe. Also klar freu ich mich das mir an der Stelle versucht wurde zu helfen. Nur hat mich das kein Stück weiter gebracht.
Warum hilft mir keiner? Ich meine es muss doch einen Grund geben oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:36 Di 11.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo baxbear,
da kann ich nur ein paar Vermutungen anstellen.
> Warum bekomm ich keine Hilfe?
> Ich meine ich hab die Frage so zeitig gestellt. Ich sitz
> die ganze Zeit an den Aufgaben und komm nicht weiter und
> absolut keiner kann oder will mir helfen. Ich versteh das
> einfach nicht.
> Ich muss die heute um 13 Uhr abgeben und bin immer noch
> nicht weiter wozu fragt man überhaupt in nem Matheforum.
> Den einzigen Tipp den ich bekommen hab, ist dass ich mich
> bei einem Grenzwert vertippt habe. Also klar freu ich mich
> das mir an der Stelle versucht wurde zu helfen. Nur hat
> mich das kein Stück weiter gebracht.
> Warum hilft mir keiner? Ich meine es muss doch einen Grund
> geben oder?
Aus meiner inzwischen recht ausgiebigen Erfahrung in diesem Forum würde ich folgendes annehmen:
1) Es sind zur Zeit nicht genügend Leute hier unterwegs, die Deine Frage verlässlich beantworten können. Ich bin z.B. nicht sicher, ob ich zu letzteren gehöre. Dann lasse ich meistens lieber die Finger davon. Das Forum wird ausschließlich ehrenamtlich betrieben, so dass wir nicht garantieren können, dass alle Fragen zeitnah beantwortet werden. Und manchmal (eher selten) kommt es sogar vor, dass eine Frage gar nicht beantwortet wird. Das ist bedauerlich, aber nicht zu ändern.
2) Niemand hat Lust, ganze Aufgaben mit mehreren Teilen - oder gar ganze Aufgabenblätter zu bearbeiten. Mit einer einzelnen Verständnisfrage oder aber einer einzelnen Aufgabe kommst Du hier definitiv schneller weiter. Bei fünf komplexen Folgen wird die Diskussion (wenn es denn eine gibt) fast garantiert unübersichtlich - für Dich und für uns.
3) Extern verlinkte Aufgabenblätter will auch niemand öffnen. Das ist einfach noch ein zusätzlicher Arbeitsgang, und außerdem (wie in Deinem Fall) häufig auch noch eine Urheberrechtsverletzung. Hättest Du das ganze Blatt hier direkt eingefügt, hätten wir es gesperrt.
4) Nimm also lieber eine einzelne, exemplarische Aufgabe und diskutiere die Vorgehensweise hier. Wenn Du dann nicht sicher bist, ob Du das weiter anwenden kannst, dann komm halt mit noch einer Aufgabe etc.
So, und jetzt will ich mal sehen, ob ich Dir nicht doch weiterhelfen kann. Falls es nicht gerade schon jemand anders tut.
Grüße und viel Erfolg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Di 11.12.2012 | | Autor: | baxbear |
> Hallo baxbear,
>
> da kann ich nur ein paar Vermutungen anstellen.
>
> > Warum bekomm ich keine Hilfe?
> > Ich meine ich hab die Frage so zeitig gestellt. Ich
> sitz
> > die ganze Zeit an den Aufgaben und komm nicht weiter und
> > absolut keiner kann oder will mir helfen. Ich versteh das
> > einfach nicht.
> > Ich muss die heute um 13 Uhr abgeben und bin immer noch
> > nicht weiter wozu fragt man überhaupt in nem Matheforum.
> > Den einzigen Tipp den ich bekommen hab, ist dass ich mich
> > bei einem Grenzwert vertippt habe. Also klar freu ich mich
> > das mir an der Stelle versucht wurde zu helfen. Nur hat
> > mich das kein Stück weiter gebracht.
> > Warum hilft mir keiner? Ich meine es muss doch einen
> Grund
> > geben oder?
>
> Aus meiner inzwischen recht ausgiebigen Erfahrung in diesem
> Forum würde ich folgendes annehmen:
>
> 1) Es sind zur Zeit nicht genügend Leute hier unterwegs,
> die Deine Frage verlässlich beantworten können. Ich bin
> z.B. nicht sicher, ob ich zu letzteren gehöre. Dann lasse
> ich meistens lieber die Finger davon. Das Forum wird
> ausschließlich ehrenamtlich betrieben, so dass wir nicht
> garantieren können, dass alle Fragen zeitnah beantwortet
> werden. Und manchmal (eher selten) kommt es sogar vor, dass
> eine Frage gar nicht beantwortet wird. Das ist bedauerlich,
> aber nicht zu ändern.
Ja vielen Dank auf jeden Fall, dass du versuchst zu helfen. Das ist auf jeden Fall schon mal hilfreich für mich.
> 2) Niemand hat Lust, ganze Aufgaben mit mehreren Teilen -
> oder gar ganze Aufgabenblätter zu bearbeiten. Mit einer
> einzelnen Verständnisfrage oder aber einer einzelnen
> Aufgabe kommst Du hier definitiv schneller weiter. Bei
> fünf komplexen Folgen wird die Diskussion (wenn es denn
> eine gibt) fast garantiert unübersichtlich - für Dich und
> für uns.
Ok mein Fehler ich würd dann einfach auf die erste eingehen wollen. Um das ich dort weiterkomme.
> 3) Extern verlinkte Aufgabenblätter will auch niemand
> öffnen. Das ist einfach noch ein zusätzlicher
> Arbeitsgang, und außerdem (wie in Deinem Fall) häufig
> auch noch eine Urheberrechtsverletzung. Hättest Du das
> ganze Blatt hier direkt eingefügt, hätten wir es
> gesperrt.
Dies wusste ich leider nicht. Dachte es wäre so einfacher, da dort stand das wir die exakte Aufgabe angeben sollen.
> 4) Nimm also lieber eine einzelne, exemplarische Aufgabe
> und diskutiere die Vorgehensweise hier. Wenn Du dann nicht
> sicher bist, ob Du das weiter anwenden kannst, dann komm
> halt mit noch einer Aufgabe etc.
Ja ok merke ich mir
> So, und jetzt will ich mal sehen, ob ich Dir nicht doch
> weiterhelfen kann. Falls es nicht gerade schon jemand
> anders tut.
>
> Grüße und viel Erfolg
> reverend
Hab das Timelimit für die Hausaufgabe erweitert ...
Vielen Dank
MfG
baxbear
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Hallo nochmal,
ich würde Wolfram Alpha nicht alles glauben. Zuviel hängt davon ab, dass man das richtige Eingabeformat wählt, und außerdem untersucht die Seite manchmal mehr, als man eigentlich wissen wollte.
> äh ja 4/5 hatte ich auch, hab bloß beim abtippen nicht
> den Fehler gemerkt.
>
> Wie zeige ich jetzt aber das die ganzen Folgen die einen
> Grenzwert haben nicht konvergieren?
Das ist ein Widerspruch in sich. Das kannst Du also gar nicht zeigen.
> und wie verstehe ich den grenzwert der letzten Folge den
> Wolfram Alpha da ausgibt und wie berechne ich den selber?
Ist das der Grenzwert einer Folge (sequence) oder einer Reihe (series)? Da muss man ziemlich aufpassen. Die Aufgabe fordert von Dir doch nur, Folgen zu untersuchen.
Zu den eigentlichen Aufgaben schreibe ich jetzt lieber etwas zu Deinem ersten Post, weil ich dann nämlich die Folgen zitieren kann, ohne sie selbst abzutippen.
Auch das ist etwas, womit Du Hilfestellern die Arbeit erleichterst: zitiere lieber mit der Zitierfunktion das Vorhergehende, dann kann man leichter Bezug darauf nehmen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 11.12.2012 | | Autor: | baxbear |
> Hallo nochmal,
>
> ich würde Wolfram Alpha nicht alles glauben. Zuviel hängt
> davon ab, dass man das richtige Eingabeformat wählt, und
> außerdem untersucht die Seite manchmal mehr, als man
> eigentlich wissen wollte.
>
> > äh ja 4/5 hatte ich auch, hab bloß beim abtippen nicht
> > den Fehler gemerkt.
> >
> > Wie zeige ich jetzt aber das die ganzen Folgen die einen
> > Grenzwert haben nicht konvergieren?
>
> Das ist ein Widerspruch in sich. Das kannst Du also gar
> nicht zeigen.
Naja, ich hab aber einen Grenzwert berechnet bzw. keine Ahnung, ist dass dann nur ein Häufungspunkt? Auf jeden Fall wie zeigt man dann dort jetzt die Divergenz?
> > und wie verstehe ich den grenzwert der letzten Folge den
> > Wolfram Alpha da ausgibt und wie berechne ich den selber?
>
> Ist das der Grenzwert einer Folge (sequence) oder einer
> Reihe (series)? Da muss man ziemlich aufpassen. Die Aufgabe
> fordert von Dir doch nur, Folgen zu untersuchen.
Äh k, stimmt der hat immer den grenzwert von einer Reihe untersucht, da er ein Summenzeichen automatisch davor gesetzt hat.
> Zu den eigentlichen Aufgaben schreibe ich jetzt lieber
> etwas zu Deinem ersten Post, weil ich dann nämlich die
> Folgen zitieren kann, ohne sie selbst abzutippen.
Gut ich antworte dann dort nochmal direkt.
> Auch das ist etwas, womit Du Hilfestellern die Arbeit
> erleichterst: zitiere lieber mit der Zitierfunktion das
> Vorhergehende, dann kann man leichter Bezug darauf nehmen.
gesagt, getan^^
> Grüße
> reverend
MfG
baxbear
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Hallo maxbear,
leider ist (mir) recht unklar, worauf du dich beziehst ...
Vllz. zitierst du mal mit mehr Bedacht und schreibst immer dazu, worauf du dich beziehst, damit man schnell sehen kann, was du meinst, ohne sich mühsam durch den thread quälen zu müssen.
> > Hallo nochmal,
> >
> > ich würde Wolfram Alpha nicht alles glauben. Zuviel hängt
> > davon ab, dass man das richtige Eingabeformat wählt, und
> > außerdem untersucht die Seite manchmal mehr, als man
> > eigentlich wissen wollte.
> >
> > > äh ja 4/5 hatte ich auch, hab bloß beim abtippen nicht
> > > den Fehler gemerkt.
> > >
> > > Wie zeige ich jetzt aber das die ganzen Folgen die einen
> > > Grenzwert haben nicht konvergieren?
> >
> > Das ist ein Widerspruch in sich. Das kannst Du also gar
> > nicht zeigen.
>
> Naja, ich hab aber einen Grenzwert berechnet bzw. keine
> Ahnung, ist dass dann nur ein Häufungspunkt? Auf jeden
> Fall wie zeigt man dann dort jetzt die Divergenz?
Was soll das bedeuten?
Wenn du ermittelt hast, dass eine Folge einen Grenzwert hat, so ist die glz. ihr einziger Häufungspunkt!
Wenn ich das richtig sehe, ist allein die letzte Folge divergent, die anderen drei sind konvergent, ich meine beim Überfliegen gelesen zu haben, dass auch die Grenzwerte schon ermittelt sind ...
Die Divergenz der letzten Folge kannst du am einfachsten nachweisen, indem du dir die 4 Teilfolgen
[mm](a_{4n})_{n\in\IN}, (a_{4n+1})_{n\in\IN}, (a_{4n+2})_{n\in\IN}[/mm] und [mm](a_{4n+3})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=i^n+\frac{1}{n}[/mm] anschaust.
Damit "überdeckst" du deine ganze Folge; zeige mit Hilfe dieser Teilfolgen, dass die Ausgangsfolge 4 Häufungswerte hat. Damit kann sie nicht konvergent sein (denn dann dürfte sie nur genau einen HP haben)
>
> > > und wie verstehe ich den grenzwert der letzten Folge den
> > > Wolfram Alpha da ausgibt und wie berechne ich den selber?
> >
> > Ist das der Grenzwert einer Folge (sequence) oder einer
> > Reihe (series)? Da muss man ziemlich aufpassen. Die Aufgabe
> > fordert von Dir doch nur, Folgen zu untersuchen.
>
> Äh k, stimmt der hat immer den grenzwert von einer Reihe
> untersucht, da er ein Summenzeichen automatisch davor
> gesetzt hat.
>
> > Zu den eigentlichen Aufgaben schreibe ich jetzt lieber
> > etwas zu Deinem ersten Post, weil ich dann nämlich die
> > Folgen zitieren kann, ohne sie selbst abzutippen.
>
> Gut ich antworte dann dort nochmal direkt.
>
> > Auch das ist etwas, womit Du Hilfestellern die Arbeit
> > erleichterst: zitiere lieber mit der Zitierfunktion das
> > Vorhergehende, dann kann man leichter Bezug darauf nehmen.
>
> gesagt, getan^^
>
> > Grüße
> > reverend
>
> MfG
> baxbear
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
und jetzt zur eigentlichen Sache:
> http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsopt/lehre_neu/pickenh/ws12/AN2012_08.pdf
> - alle Aufgaben
>
> wollte fragen ob ihr mir helfen könntet mit der 2.
> Aufgabe?
> Also konvergent ist eine Folge ja, wenn sie monoton ist
> und einen Grenzwert hat. Nun kann ich die Monotonie einer
> komplexen Folge schlecht zeigen, da die komplexen Zahlen
> keine Ordnung haben,
Das ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Kriterium gilt aber trotzdem! Auch wenn Du Recht hast, dass komplexe Folgen nicht monoton sein können, weil keine Ordnung auf [mm] \IC [/mm] definiert ist, hilft Dir Cauchy weiter.
> also hab ich nur die Grenzwerte
> bestimmt.
Hm. Das geht dann ohne Cauchy aber nur, wenn Du Real- und Imaginärteil getrennt untersuchen kannst und beide konvergieren.
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+n\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(\frac{1}{n})}{n(\frac{1}{n}+i)}=0\\
[/mm]
Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist es nicht so einfach zu sehen. Besser ist, Du machst erst einmal den Nenner reell (Multiplikation mit der Konjugierten). Dann ist es einfach.
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{4n}{5n-3\sqrt{n}\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(4)}{n(5-\frac{3\cdot i}{\sqrt{n}})}=0\\
[/mm]
Hier dagegen kannst du Dir das Reellmachen des Nenners tatsächlich sparen, weil der imaginäre Teil im Nenner ja "verschwindet". Und natürlich kommt [mm] \tfrac{4}{5} [/mm] raus, aber das war ja schon geklärt.
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{i^n}{i\cdot n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{-1}^n}{i*n}=0[/mm]
> (laut wolframalpha die einzigste Folge die [mm]konvergiert)\\
[/mm]
Das glaube ich eben nicht. Da bezieht sich Wolfram wohl auf die Reihe.
Im übrigen hilft Deine Schreibweise überhaupt nicht, um zu erkennen, woher Du eigentlich den Grenzwert beziehst. Die Folgenglieder sind ja abwechseln rein reell und rein imaginär; evtl. ist es für den Aufschrieb sogar hilfreich, das getrennt zu betrachten - nötig ist es nicht, da [mm] i^n [/mm] ja nur i,-1,-i oder 1 ergeben kann, und ansonsten der Faktor [mm] \tfrac{1}{n} [/mm] für die eigentliche Konvergenz verantwortlich ist.
> [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}=(1[/mm] und -1)? (laut
> wolframalpha kommt irgendwas raus was ich nicht verstehe
> [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}[/mm] = exp((2 i) 0 to pi))
Verstehe ich auch nicht.
Die Folge ist divergent, wegen [mm] i^n, [/mm] siehe oben.
Sie hat allerdings vier Häufungspunkte.
> So nun wollte ich wissen wie ich die Konvergenz richtig
> zeige?
Wie gesagt, Cauchy.
> Außerdem wollte ich kurz fragen ob es richtig ist, dass
> bei Aufgabe 23 nur d eine Metrik definiert?
Warum nicht auch b) und e)?
> Äh Häufungspunkte muss ich mir nochmal angucken, dazu
> braucht ihr noch nichts sagen. Wenn ich das nicht verstehe
> melde ich mich wieder.
>
> Danke schonmal für die Hilfe
Ich hoffe, damit kommst Du weiter.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 11.12.2012 | | Autor: | baxbear |
> Hallo nochmal,
>
> und jetzt zur eigentlichen Sache:
>
> >
> http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsopt/lehre_neu/pickenh/ws12/AN2012_08.pdf
> > - alle Aufgaben
> >
> > wollte fragen ob ihr mir helfen könntet mit der 2.
> > Aufgabe?
> > Also konvergent ist eine Folge ja, wenn sie monoton ist
> > und einen Grenzwert hat. Nun kann ich die Monotonie einer
> > komplexen Folge schlecht zeigen, da die komplexen Zahlen
> > keine Ordnung haben,
>
> Das Cauchy-Kriterium
> gilt aber trotzdem! Auch wenn Du Recht hast, dass komplexe
> Folgen nicht monoton sein können, weil keine Ordnung auf
> [mm]\IC[/mm] definiert ist, hilft Dir Cauchy weiter.
Irgendwie leider nicht, da ich hier mal das Cauchykriterium für 2.1 eingesetzt habe und zu keinem Ergebnis gekommen bin :
[mm] \varepsilon [/mm] > [mm] |z_{n}-z_{m}| [/mm] = nach mehreren Umformungen = [mm] |\frac{i\cdot(n-m)}{1+m\cdot i + n\cdot i - n\cdot m}|
[/mm]
> > also hab ich nur die Grenzwerte
> > bestimmt.
>
> Hm. Das geht dann ohne Cauchy aber nur, wenn Du Real- und
> Imaginärteil getrennt untersuchen kannst und beide
> konvergieren.
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+n\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(\frac{1}{n})}{n(\frac{1}{n}+i)}=0\\
[/mm]
>
> Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist es nicht so einfach zu
> sehen. Besser ist, Du machst erst einmal den Nenner reell
> (Multiplikation mit der Konjugierten). Dann ist es
> einfach.
Ähm einfach so?:
[mm] z_n=\frac{1-n\cdot i}{1+n^2}\\
[/mm]
[mm] Im(z_n)=\frac{n}{1+n^2}=\frac{n\cdot 1}{n^2\cdot (\frac{1}{n^2}+1)} [/mm] > [mm] 0\\
[/mm]
[mm] Re(z_n)=\frac{1}{1+n^2}>0\\
[/mm]
daraus folgt: [mm] z_n=\frac{1-n\cdot i}{1+n^2} [/mm] > 0
gilt damit schon die Konvergenz oder muss da noch mehr hin? Ich hab ja das Cauchy'sche Konvergenzkriterium nicht gezeigt, weill ich keine Ahnung hab wie ich dies sinnvoll benutze. Könntet ihr mir das an irgendeiner Aufgabe mal vorführen?
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{4n}{5n-3\sqrt{n}\cdot i}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(4)}{n(5-\frac{3\cdot i}{\sqrt{n}})}=0\\
[/mm]
>
> Hier dagegen kannst du Dir das Reellmachen des Nenners
> tatsächlich sparen, weil der imaginäre Teil im Nenner ja
> "verschwindet". Und natürlich kommt [mm]\tfrac{4}{5}[/mm] raus,
> aber das war ja schon geklärt.
Wie zeige ich dort nun die Konvergenz oder ist die mit dem bestimmen von den [mm] \frac{4}{5} [/mm] teln schon gezeigt?
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{i^n}{i\cdot n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{-1}^n}{i*n}=0[/mm]
> > (laut wolframalpha die einzigste Folge die [mm]konvergiert)\\
[/mm]
>
> Das glaube ich eben nicht. Da bezieht sich Wolfram wohl auf
> die Reihe.
stimmt, damit hast du Recht gehabt, Wolframalpha bezieht sich auf die Reihe.
> Im übrigen hilft Deine Schreibweise überhaupt nicht, um
> zu erkennen, woher Du eigentlich den Grenzwert beziehst.
> Die Folgenglieder sind ja abwechseln rein reell und rein
> imaginär; evtl. ist es für den Aufschrieb sogar
> hilfreich, das getrennt zu betrachten - nötig ist es
> nicht, da [mm]i^n[/mm] ja nur i,-1,-i oder 1 ergeben kann, und
> ansonsten der Faktor [mm]\tfrac{1}{n}[/mm] für die eigentliche
> Konvergenz verantwortlich ist.
Wie bestimme ich bei der Aufgabe die Häufungspunkte? ich meine, es muss doch irgendeine Möglichkeit Anzahl und Lage solcher Punkte zu berechnen geben oder?
> > [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}=(1[/mm] und -1)? (laut
> > wolframalpha kommt irgendwas raus was ich nicht verstehe
> > [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}[/mm] = exp((2 i) 0 to pi))
>
> Verstehe ich auch nicht.
> Die Folge ist divergent, wegen [mm]i^n,[/mm] siehe oben.
> Sie hat allerdings vier Häufungspunkte.
Wie schon oben gefragt wie bestimme ich dies? Wie kommt man darauf?
> > So nun wollte ich wissen wie ich die Konvergenz richtig
> > zeige?
>
> Wie gesagt, Cauchy.
Hatte ich oben auch schonmal geschrieben, ich weiß nicht wie ich das Cauchyding richtig einsetze.
> > Außerdem wollte ich kurz fragen ob es richtig ist, dass
> > bei Aufgabe 23 nur d eine Metrik definiert?
>
> Warum nicht auch b) und e)?
Ich hab einfach auf Definitheit, Symmetrie und Gültigkeit der Dreiecksungleichung überprüft.
... und jetzt merke ich gerade, dass ich bei der Überprüfung der Symmetrie den Betrag nicht beachtet habe. Damit vielen Dank und ja b) und e) sind auch Metriken.
> > Äh Häufungspunkte muss ich mir nochmal angucken, dazu
> > braucht ihr noch nichts sagen. Wenn ich das nicht verstehe
> > melde ich mich wieder.
Ist so weit -.- . Ich arbeite mich gerade Stück für Stück wieder an das Thema mit Analysis I von Harro Heuser - schönes Buch bin aber erst auf Seite 50 und zum einfach nachschlagen scheint das Buch weniger geeignet zu sein. In 100 - 150 Seiten bin ich beim aktuellen Thema.
> > Danke schonmal für die Hilfe
>
> Ich hoffe, damit kommst Du weiter.
>
> Grüße
> reverend
>
Joar also 1. scheint damit auf jeden Fall hinzuhauen. Bei 2. brauch ich noch Hilfe.
MfG
baxbear
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Hallo nochmal,
nochmal zu den HPen bei der 4. Folge:
> Wie bestimme ich bei der Aufgabe die Häufungspunkte? ich
> meine, es muss doch irgendeine Möglichkeit Anzahl und Lage
> solcher Punkte zu berechnen geben oder?
>
> > > [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}=(1[/mm] und -1)? (laut
> > > wolframalpha kommt irgendwas raus was ich nicht verstehe
> > > [mm]\lim_{n \to \infty}i^n+\frac{1}{n}[/mm] = exp((2 i) 0 to pi))
> >
> > Verstehe ich auch nicht.
> > Die Folge ist divergent, wegen [mm]i^n,[/mm] siehe oben.
> > Sie hat allerdings vier Häufungspunkte.
>
> Wie schon oben gefragt wie bestimme ich dies? Wie kommt man
> darauf?
Dazu hatte ich in meiner anderen Antwort ausführlich was geschrieben.
Der Teil [mm]1/n[/mm] geht gegen 0 für [mm]n\to\infty[/mm], der vordere Teil [mm]i^n[/mm] ist abh. von [mm]i[/mm] stets im Wechsel konstant [mm]i, -1, -i, 1[/mm]
Dazu solltest du dir die 4 oben erwähnten Teilfolgen ansehen.
[mm]i,-1,-i,1[/mm] sind dann auch die 4 HPe der Folge.
Man kommt darauf, die 4 erwähnten TFen zu betrachten, wenn man sich halt diesen 4er-Zyklus der Potenzen von i klarmacht.
> MfG
> baxbear
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mi 12.12.2012 | | Autor: | baxbear |
Kann ich die Lösungen dann wie folgt aufschreiben?
[mm] z_n [/mm] = [mm] \frac{1}{1+n\cdot i} [/mm] = [mm] \frac{1-n\cdot i}{1+n^2}
[/mm]
[mm] Im(z_n)=\frac{n}{1+n^2}=\frac{n\cdot 1}{n^2(\frac{1}{n^2}+1)}>0
[/mm]
[mm] Re(z_n)=\frac{1}{1+n^2}=\frac{1}{n^2(\frac{1}{n^2}+1)}>0
[/mm]
[mm] Im(z_n)>Im(z_{n+1})
[/mm]
...
[mm] n^2+n [/mm] > 1
[mm] Re(z_n)>Re(z_{n+1})
[/mm]
...
[mm] 2\cdot [/mm] n+1>0
-> Folge konvergent, da Imaginär- und Realteil konvergent sind
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[mm] w_n=\frac{4n}{5n-3\sqrt{n}\cdot i}=\frac{20n^2+12\sqrt{n}\cdot i}{25n^2+9n}
[/mm]
[mm] Im(w_n)=\frac{12\sqrt{n}}{25n^2+9n}=\frac{n^{\frac{1}{2}}*12}{n^2(25+\frac{9}{n})}>0
[/mm]
[mm] Re(w_n)=\frac{20n^2}{25n^2+9n}=\frac{n^2\cdot 20}{n^2(25+\frac{9}{n})}<\frac{4}{5}
[/mm]
Eine Monotonieuntersuchung gelingt mir hier nicht, ist es hier nötig oder nicht? Reicht dies zum zeigen der Konvergenz?
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[mm] u_n=\frac{i^n}{in}=i^{n-1}*\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}}=0 [/mm] -> [mm] \lim_{n \to \infty}{u_n}=\lim_{n \to \infty}{i^{n-1}*\frac{1}{n}}=0
[/mm]
->? gleiches wie bei der Aufgabe zuvor - folgt hier bereits die Konvergenz aus dem Grenzwert?
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[mm] v_n=i^n+\frac{1}{n} [/mm]
[mm] i^1=i
[/mm]
[mm] i^2=-1
[/mm]
[mm] i^3=-i
[/mm]
[mm] i^4=1
[/mm]
-> 4 Häufungspunkte -> [mm] \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}}=0
[/mm]
-> divergent mit den Häufungspunkten: i, -i, -1, 1
Muss ich dies noch irgendwie genauer beschreiben oder ist dies eindeutig?
Ich hab jetzt ja nicht das Cauchy-Kriterium angewendet also: [mm] |a_m-a_n|<\varepsilon, [/mm] wie sieht eine Lösung mit diesem Kriterium aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mi 12.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da eine komplexe Folge dann und nur dann konvergiert, wenn Realteil und Imaginärteil beide konvergieren, wendest du das Cauchykriterium auf diese an.
dazu musst du die folgen aber in der form [mm] a_n+i*b_n [/mm] schreiben oder bei der letzten die fallunterscheidungen abh. von n machen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 12.12.2012 | | Autor: | baxbear |
> Hallo
> Da eine komplexe Folge dann und nur dann konvergiert, wenn
> Realteil und Imaginärteil beide konvergieren, wendest du
> das Cauchykriterium auf diese an.
> dazu musst du die folgen aber in der form [mm]a_n+i*b_n[/mm]
> schreiben oder bei der letzten die fallunterscheidungen
> abh. von n machen.
Äh die gesamte Folge muss doch eigentlich konvergent sein, wenn die Teilfolgen [mm] Im(a_n) [/mm] und [mm] Re(a_n) [/mm] konvergieren.
d.h. ich könnte doch auch die Teilfolgen auf konvergenz untersuchen mit:
[mm] |\frac{20m^2}{25m^2+9m}-\frac{4}{5}|<\varepsilon
[/mm]
nach umformen kommt dort dies raus:
[mm] |-\frac{36}{125n+36}|<\varepsilon [/mm]
leider habe ich keine Ahnung wie ich dies interpretieren soll.
(Bsp. zur 2. Folge Realteil)
> Gruss leduart
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Hallo nochmal,
> > Hallo
> > Da eine komplexe Folge dann und nur dann konvergiert,
> wenn
> > Realteil und Imaginärteil beide konvergieren, wendest du
> > das Cauchykriterium auf diese an.
> > dazu musst du die folgen aber in der form [mm]a_n+i*b_n[/mm]
> > schreiben oder bei der letzten die fallunterscheidungen
> > abh. von n machen.
>
> Äh die gesamte Folge muss doch eigentlich konvergent sein,
> wenn die Teilfolgen [mm]Im(a_n)[/mm] und [mm]Re(a_n)[/mm] konvergieren.
> d.h. ich könnte doch auch die Teilfolgen auf konvergenz
> untersuchen mit:
> [mm]|\frac{20m^2}{25m^2+9m}-\frac{4}{5}|<\varepsilon[/mm]
> nach umformen kommt dort dies raus:
> [mm]|-\frac{36}{125n+36}|<\varepsilon[/mm]
> leider habe ich keine Ahnung wie ich dies interpretieren
> soll.
> (Bsp. zur 2. Folge Realteil)
Also sind wir bei [mm]a_n=\frac{4n}{5n-3\sqrt{n}i}=\frac{20n^2}{25n^2+9n}+i\cdot{}\frac{12n^{3/2}}{25n^2+9n}[/mm] ?
Da musst du doch nicht bei Adam und Eva anfangen und das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium hernehmen.
Klammere beim Realteil in Zähler und Nenner [mm]n^2[/mm] aus und nutze die Grenzwertsätze - dafür sind die schließlich da.
Beim Imaginärteil kannst du [mm]n^{3/2}[/mm] in Zähler und Nenner ausklammern und siehst, was los ist. Das ist ja schon auf einen Blick eine Nullfolge ...
Wenn du unbedingt das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium benutzen möchtest, musst du den Betrag da wohl weiter abschätzen, um ein passendes [mm]n_0[/mm] (bzw. [mm]m_0[/mm] in deiner neuen Schreibweise) zu konstruieren.
Aber wie gesagt, das ist viel zu viel Aufwand für solch eine Pupsifolge ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 12.12.2012 | | Autor: | baxbear |
Wie könnte ich dass denn mit wenig Aufwand zeigen, dass die Folge konvergiert?
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Hallo nochmal,
sag mal, willst du uns veräppeln oder was?
Hast du gelesen, was ich geschrieben habe?
Da steht doch genau drin, wie du schnell mithilfe der Grenzwertsätze zeigen kannst, dass die Folge der Realteile und die der Imaginärteile konvergiert ...
Was an der Ansage mit dem Ausklammern kapierst du nicht?
Weißt du, wie man ausklammert?
Hattest du das in der Schule?
Dann sollte es doch klappen ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 12.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ihr die GW Definition benuzten sollt, dann rechne aus
$ [mm] |-\frac{36}{125n+36}|<\varepsilon [/mm] $
$ [mm] \frac{36}{125n+36}<\varepsilon [/mm] $
ein [mm] N_0 [/mm] aus so dass für alle größeren n die Ungleichung stimmt.
Gruss leduart
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