Konvergenz von Reihen 4 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ich habe nun zum guten Schluss folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}} [/mm]
mein Ansatz:
[mm] lim_{n->\infty} \frac{n!}{n^{n}} [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} \frac{1 * 2 * 3 * ...* (n-1) * n}{n*n*...*n} [/mm]
dann haben wir in der Vorlesung folgendes kennengelernt was ich hier anwenden würde:
[mm] lim_{n->\infty} \frac{1 * 2 * 3 * ...* (n-1) * n}{n*n*...*n} \le lim_{n->\infty} [/mm] ((1/n) * [mm] (n/n)^{n-1}) [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} [/mm] (1/n) * [mm] 1^{n-1} [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} [/mm] (1/n) = 0
Ich kann die Schritte auch insoweit nachvollziehen, dass mit Hilfe des Majorantenkriterium nach oben abgeschätzt wurde und der Zäher verfrößert wird. im ersten Vergrößerungsschritt werden alle Zahlen im Zähler zu n zusammengefasst.
meine Frage:
Wie entsteht das hoch {n-1} ? ich habe doch eigentlich n wiele Zahlen im Zähler oder? könnt ihr mir das vielleicht erläutern?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> ich habe nun zum guten Schluss folgende Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}[/mm]
> mein Ansatz:
> [mm]lim_{n->\infty} \frac{n!}{n^{n}}[/mm] = [mm]lim_{n->\infty} \frac{1 * 2 * 3 * ...* (n-1) * n}{n*n*...*n}[/mm]
> dann haben wir in der Vorlesung folgendes kennengelernt was
> ich hier anwenden würde:
> [mm]lim_{n->\infty} \frac{1 * 2 * 3 * ...* (n-1) * n}{n*n*...*n} \le lim_{n->\infty}[/mm]
> ((1/n) * [mm](n/n)^{n-1})[/mm] = [mm]lim_{n->\infty}[/mm] (1/n) * [mm]1^{n-1}[/mm] =
> [mm]lim_{n->\infty}[/mm] (1/n) = 0
> Ich kann die Schritte auch insoweit nachvollziehen, dass
> mit Hilfe des Majorantenkriterium nach oben abgeschätzt
> wurde und der Zäher verfrößert wird. im ersten
> Vergrößerungsschritt werden alle Zahlen im Zähler zu n
> zusammengefasst.
> meine Frage:
> Wie entsteht das hoch {n-1} ? ich habe doch eigentlich n
> wiele Zahlen im Zähler oder? könnt ihr mir das vielleicht
> erläutern?
>
> Danke
[mm] \frac{1 \cdot{} 2 \cdot{} 3 \cdot{} ...\cdot{} (n-1) \cdot{} n}{n\cdot{}n\cdot{}...\cdot{}n}= \bruch{1}{n}*(\bruch{2}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n})
[/mm]
Das Produkt in der Klammer rechts ( nach [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] hat n-1 Faktoren.
Jeder dieser Faktoren ist [mm] \le \bruch{n}{n}, [/mm] also ist
[mm] \frac{1 \cdot{} 2 \cdot{} 3 \cdot{} ...\cdot{} (n-1) \cdot{} n}{n\cdot{}n\cdot{}...\cdot{}n}= \bruch{1}{n}*(\bruch{2}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}) \le \bruch{1}{n}*(\bruch{n}{n})^{n-1}=\bruch{1}{n}.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
aber der letzte Faktor ist doch =n wieso hat das Produkt dann n-1 Faktoren?
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Hallo,
> aber der letzte Faktor ist doch =n wieso hat das Produkt
> dann n-1 Faktoren?
Wiel die Zählung bei 2 beginnt... 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
achso. ihr meint bestimmt z.B. bei n=5 also 5!= 5* 4*3*2*1
dann sind 4,3,2,1 die Faktoren also habe ich 4 Faktoren (5-1)
richtig?
ganz liebe Grüße!
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Hallo,
> achso. ihr meint bestimmt z.B. bei n=5 also 5!= 5* 4*3*2*1
> dann sind 4,3,2,1 die Faktoren also habe ich 4 Faktoren
> (5-1)
> richtig?
Nicht ganz: schau dir doch mal genau an, was FRED gemacht hat: in deinem Beispiel wären es die vier Faktoren 2; 3; 4 und 5.
Gruß, Diophant
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