Konvergenz von Reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 17.11.2013 | | Autor: | meneman |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
a)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(2i)^k +3^{k-1}}{5^k} [/mm] |
Zu meinem
Also erstmal geht es hier nicht um absolute konvergenz, also muss man sie mit bereits bewiesenen Konvergenten Reihen als Konvergent auslegen.
An dieser Stelle ist mir aufgefallen, dass es eine Zusammenstellung aus geometrischen Reihen ist. [mm] q^k, [/mm] diese Reihe konvergeiert gegen [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] , wenn |q| < 1 ist.
Meine Überlegung war es, jetzt den Grenzwert der geometrischen Reihen einzusetzem. Dafür habe ich den Term [mm] 3^{k-1} [/mm] noch in [mm] 3^k [/mm] * [mm] 3^{-1} [/mm] gewandelt.
Danach hatte ich folgenden Term:
[mm] \bruch{\bruch{1}{1-(2i)} +(\bruch{1}{6})}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Doch was mache ich jetzt? Desweiteren zweifle ich auch bereits das dies der richtige Lösungsweg ist, da ich so keine Konvergenz beweise und trotzdem irgendwie Grenzwerte rausbekomme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Untersuche auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den
> Grenzwert.
> a)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(2i)^k +3^{k-1}}{5^k}[/mm]
> Zu
> meinem
> Also erstmal geht es hier nicht um absolute konvergenz,
> also muss man sie mit bereits bewiesenen Konvergenten
> Reihen als Konvergent auslegen.
>
> An dieser Stelle ist mir aufgefallen, dass es eine
> Zusammenstellung aus geometrischen Reihen ist. [mm]q^k,[/mm] diese
> Reihe konvergeiert gegen [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] , wenn |q| < 1
> ist.
> Meine Überlegung war es, jetzt den Grenzwert der
> geometrischen Reihen einzusetzem. Dafür habe ich den Term
> [mm]3^{k-1}[/mm] noch in [mm]3^k[/mm] * [mm]3^{-1}[/mm] gewandelt.
>
> Danach hatte ich folgenden Term:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{1-(2i)} +(\bruch{1}{6})}{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Doch was mache ich jetzt? Desweiteren zweifle ich auch
> bereits das dies der richtige Lösungsweg ist, da ich so
> keine Konvergenz beweise und trotzdem irgendwie Grenzwerte
> rausbekomme.
Sicher, dass der Index bei k=1 beginnt? k=0 wäre 'üblicher' meiner Ansicht nach.
Unabhängig davon gehst du das falsch an. Natürlich hat das etwas mit geometrischen Reihen zu tun, aber du verwendest hier den bekannten Grenzwert für den Fall |q|<1, wo dieser überhaupt nicht erlaubt ist (etwa für q=3).
Probiere folgenden Weg. Teile deine Reihe zunächst so auf:
[mm] \sum_{k=1}^\infty\bruch{(2i)^k+3^k}{5^k}=\sum_{k=1}^\infty\bruch{(2i)^k}{5^k}+\sum_{k=1}^\infty\bruch{3^k}{5^k}=\sum_{k=1}^\infty\left(\bruch{2i}{5}\right)^k+\sum_{k=1}^\infty\left(\bruch{3}{5}\right)^k
[/mm]
Der Grenzwert des zweiten Summanden ist jetzt trivial. Den vorderen Summanden muss man jetzt noch weiter zerlegen, nämlich in seinen Real- und Imaginärteil. Dazu bilde eine Summe mit allen geraden Exponenten, das ist dein Realteil. Die mit den ungeraden Exponenten ergeben den Imaginärteil. Erster ist wieder trivial, beim zweiten musst du noch den Faktor i aus der Summe herausziehen. Dann wirst du den komplexen Grenzwert dieser Reihe auf einfache Art und Weise aber mit ordentlich viel Schreibarbeit bekommen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 17.11.2013 | | Autor: | meneman |
> Der Grenzwert des zweiten Summanden ist jetzt trivial. Den
> vorderen Summanden muss man jetzt noch weiter zerlegen,
> nämlich in seinen Real- und Imaginärteil. Dazu bilde eine
> Summe mit allen geraden Exponenten, das ist dein Realteil.
> Die mit den ungeraden Exponenten ergeben den Imaginärteil.
> Erster ist wieder trivial, beim zweiten musst du noch den
> Faktor i aus der Summe herausziehen. Dann wirst du den
> komplexen Grenzwert dieser Reihe auf einfache Art und Weise
> aber mit ordentlich viel Schreibarbeit bekommen.
>
>
> Gruß, Diophant
Danke für deine Antwort, doch leider komme ich damit nicht weiter und das frustriert ganz schön. Ich habe nicht den blassen schimmer wie ich eine Summe aus allen [mm] a_{k | k \in N \cap k ungerade} [/mm] erstellen.
Das würde doch bedeuten, ich nehme mir alle diese Glieder der Folge, also:
( [mm] \bruch{2i}{5} )^1 [/mm] + ( [mm] \bruch{2i}{5} )^3 [/mm] + ( [mm] \bruch{2i}{5} )^5 [/mm] + ... + [mm] (\bruch{2i}{5})^n [/mm]
und zeige das diese Menge an Summanden Äquivalent zu einem bestimmten Term ist, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 So 17.11.2013 | | Autor: | abakus |
> > Der Grenzwert des zweiten Summanden ist jetzt trivial. Den
> > vorderen Summanden muss man jetzt noch weiter zerlegen,
> > nämlich in seinen Real- und Imaginärteil. Dazu bilde eine
> > Summe mit allen geraden Exponenten, das ist dein Realteil.
> > Die mit den ungeraden Exponenten ergeben den Imaginärteil.
> > Erster ist wieder trivial, beim zweiten musst du noch den
> > Faktor i aus der Summe herausziehen. Dann wirst du den
> > komplexen Grenzwert dieser Reihe auf einfache Art und Weise
> > aber mit ordentlich viel Schreibarbeit bekommen.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
>
>
> Danke für deine Antwort, doch leider komme ich damit nicht
> weiter und das frustriert ganz schön. Ich habe nicht den
> blassen schimmer wie ich eine Summe aus allen [mm]a_{k | k \in N \cap k ungerade}[/mm]
> erstellen.
> Das würde doch bedeuten, ich nehme mir alle diese Glieder
> der Folge, also:
>
> ( [mm]\bruch{2i}{5} )^1[/mm] + ( [mm]\bruch{2i}{5} )^3[/mm] + ( [mm]\bruch{2i}{5} )^5[/mm]
> + ... + [mm](\bruch{2i}{5})^n[/mm]
> und zeige das diese Menge an Summanden Äquivalent zu einem
> bestimmten Term ist, oder?
Hallo,
klammere zunächst [mm]\bruch{2i}{5}[/mm] aus. In der Klammer bleibt [mm] $1-\frac{4}{25}+ (\frac{4}{25})^2- (\frac{4}{25})^3 ...$.
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 17.11.2013 | | Autor: | meneman |
> Hallo,
> klammere zunächst [mm]\bruch{2i}{5}[/mm] aus. In der Klammer
> bleibt [mm]1-\frac{4}{25}+ (\frac{4}{25})^2- (\frac{4}{25})^3 ...[/mm].
>
> Gruß Abakus
>
Okay, das habe ich nun getan und das dann in eine Summeschreibweise übertragen. Das sieht dann so aus:
[mm] \bruch{2i}{5} \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] (-1)^i [/mm] * [mm] (\bruch{4}{25})^i [/mm] )
Dadurch ich wirklihc gerade das erste mal die Konvergenz einer Reihe nachweisen bzw einen Grenzwert bestimme, weiß ich nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Hallo,
> > klammere zunächst [mm]\bruch{2i}{5}[/mm] aus. In der Klammer
> > bleibt [mm]1-\frac{4}{25}+ (\frac{4}{25})^2- (\frac{4}{25})^3 ...[/mm].
>
> >
> > Gruß Abakus
> >
>
> Okay, das habe ich nun getan und das dann in eine
> Summeschreibweise übertragen. Das sieht dann so aus:
>
> [mm]\bruch{2i}{5} \summe_{i=0}^{\infty}[/mm] ( [mm](-1)^i[/mm] *
> [mm](\bruch{4}{25})^i[/mm] )
>
> Dadurch ich wirklihc gerade das erste mal die Konvergenz
> einer Reihe nachweisen bzw einen Grenzwert bestimme, weiß
> ich nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
Du kennst doch sicher die geometrische Reihe
[mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}=\ldots [/mm] für [mm] |q|<\ldots
[/mm]
Diese musst du in Hauptstudium definitiv kennen.
Beachte aber auch die Forderung an q, zeige das hier diese Forderung erfüllt ist.
Beachte auch, dass
[mm] (-1)^{k}\cdot\left(\frac{4}{25}\right)^{k}=\left(-\frac{4}{25}\right)^{k}
[/mm]
Und beachte, dass
[mm] \left(-\frac{4}{25}\right)^{0}=1
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 17.11.2013 | | Autor: | meneman |
> Hallo und
>
> > > Hallo,
> > > klammere zunächst [mm]\bruch{2i}{5}[/mm] aus. In der Klammer
> > > bleibt [mm]1-\frac{4}{25}+ (\frac{4}{25})^2- (\frac{4}{25})^3 ...[/mm].
>
> >
> > >
> > > Gruß Abakus
> > >
> >
> > Okay, das habe ich nun getan und das dann in eine
> > Summeschreibweise übertragen. Das sieht dann so aus:
> >
> > [mm]\bruch{2i}{5} \summe_{i=0}^{\infty}[/mm] ( [mm](-1)^i[/mm] *
> > [mm](\bruch{4}{25})^i[/mm] )
>
> >
> > Dadurch ich wirklihc gerade das erste mal die
> Konvergenz
> > einer Reihe nachweisen bzw einen Grenzwert bestimme,
> weiß
> > ich nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
>
> Du kennst doch sicher die geometrische Reihe
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}=\ldots[/mm] für [mm]|q|<\ldots[/mm]
>
> Diese musst du in Hauptstudium definitiv kennen.
>
> Beachte aber auch die Forderung an q, zeige das hier diese
> Forderung erfüllt ist.
> Beachte auch, dass
>
> [mm](-1)^{k}\cdot\left(\frac{4}{25}\right)^{k}=\left(-\frac{4}{25}\right)^{k}[/mm]
>
> Und beachte, dass
> [mm]\left(-\frac{4}{25}\right)^{0}=1[/mm]
>
> Marius
Okay, danke für all die Mühen soweit :)
Sn = [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}=\bruch{1}{q-1}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]
da [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] (\bruch{4}{25})^k [/mm] < 1 gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Sn = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{5}{-3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{-6} [/mm]
Also ist der Grenzwert von $ [mm] \bruch{2i}{5} \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] $ ( $ [mm] (-1)^i [/mm] $ * $ [mm] (\bruch{4}{25})^i [/mm] $ ) = [mm] \bruch{10i}{30}
[/mm]
Ist dsa richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 17.11.2013 | | Autor: | abakus |
> > Hallo und
> >
> > > > Hallo,
> > > > klammere zunächst [mm]\bruch{2i}{5}[/mm] aus. In der
> Klammer
> > > > bleibt [mm]1-\frac{4}{25}+ (\frac{4}{25})^2- (\frac{4}{25})^3 ...[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Gruß Abakus
> > > >
> > >
> > > Okay, das habe ich nun getan und das dann in eine
> > > Summeschreibweise übertragen. Das sieht dann so
> aus:
> > >
> > > [mm]\bruch{2i}{5} \summe_{i=0}^{\infty}[/mm] ( [mm](-1)^i[/mm] *
> > > [mm](\bruch{4}{25})^i[/mm] )
> >
> > >
> > > Dadurch ich wirklihc gerade das erste mal die
> > Konvergenz
> > > einer Reihe nachweisen bzw einen Grenzwert bestimme,
> > weiß
> > > ich nicht wie ich jetzt weiter machen soll.
> >
> > Du kennst doch sicher die geometrische Reihe
> >
> > [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}=\ldots[/mm] für [mm]|q|<\ldots[/mm]
> >
> > Diese musst du in Hauptstudium definitiv kennen.
> >
> > Beachte aber auch die Forderung an q, zeige das hier diese
> > Forderung erfüllt ist.
> > Beachte auch, dass
> >
> >
> [mm](-1)^{k}\cdot\left(\frac{4}{25}\right)^{k}=\left(-\frac{4}{25}\right)^{k}[/mm]
> >
> > Und beachte, dass
> > [mm]\left(-\frac{4}{25}\right)^{0}=1[/mm]
> >
> > Marius
>
> Okay, danke für all die Mühen soweit :)
>
> Sn = [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}=\bruch{1}{q-1}[/mm] für
Was machst du denn hier?
Statt q-1 müsste 1-q im Nenner stehen,
und [mm] $\frac{1}{1-(-\frac{4}{25})}$ [/mm] ergibt 25/29.
Gruß Abakus
> [mm]|q|<1[/mm]
>
> da [mm](-1)^k[/mm] * [mm](\bruch{4}{25})^k[/mm] < 1 gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] Sn = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{5}{-3}[/mm] = [mm]\bruch{5}{-6}[/mm]
>
> Also ist der Grenzwert von [mm]\bruch{2i}{5} \summe_{i=0}^{\infty}[/mm]
> ( [mm](-1)^i[/mm] * [mm](\bruch{4}{25})^i[/mm] ) = [mm]\bruch{10i}{30}[/mm]
>
> Ist dsa richtig so?
>
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