Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Di 22.10.2013 | | Autor: | Paul8 |
Hallo
Ich weiß nicht ob das hier zu "Schulmathematik" gehört oder ob das doch Uni-Stoff ist. Ich bin auf einem Gymnasium und mein Lehrer hat mir gesagt, dass man das erst auf der Uni macht und, dass wir das nicht auf dem Gymnasium lernen werden.
Und zwar geht es um folgende Gleichung, die nach meinen Informationen stimmt.
[mm]k\in\mathbb{N}[/mm] ist eine Konstante
[mm]lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}i^{k}}{n^{k+1}}\right) = lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^{k}+2^{k}+\ldots+(n-1)^{k}+n^{k}}{n^{k+1}}\right)=\frac{1}{k+1}[/mm]
Meine Frage ist warum das so ist. Kon- und Divergenz (bei einfacheren Termen) haben wir besprochen, auch nicht von Reihen, trotzdem möchte es umbedingt verstehen :).
Wenn man nicht beachten würde, dass die Summe im Zähler auch wächst, wäre der Limes ja 0. Trotzdem bin ich noch ein bisschen skeptisch anzunehmen, dass der Limes nicht 0 ist, da die größte Potzens ja im Nenner steht und somit schneller anwächst - wie ich mir das vorstelle..
Wäre echt nett, wenn mir das jmd erklären könnte oder ggf eine spezielleren Fachbegriff dazu sagen könnte, mitdem man Google für weiteres befragen könnte :)
Danke im Vorraus
Ich hoffe ich nerve euch mit meinem Gefrage nicht.
Da ich auf dem Gymnasium bin und nicht auf der Uni wäre es sehr nett, wenn ihr sagt warum ihr etwas macht.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=529690
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Mi 23.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
betrachte das Integral [mm] \integral_{0}^{n}{ x^k dx} [/mm] deine Zählersumme ist idazu eine Obersumme, Mit Schrittweite 1 also größer oder gleich dem Integral lässt du das letzte Glied weg, ist es die Untersumme die Kleiner ist als das Integral, das Integral kannst du berechnen, durch [mm] n^{k+1} [/mm] dividieren und den GW bilden. den Unterschied zw. Ober und Untersumme auch. der geht gegen 0
für k=1 solltest du es direkt ausrechnen künnen, daran siehst du, dass die Summe etwa wie [mm] n^{k+1} [/mm] - Glieder mit kleinerem Exponenten ist. Damit wird das Resultat plausibler.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir betrachten die Funktion [mm] f(x):=x^k. [/mm] f ist integrierbar über [0,1]
Wähle wir die äquidistante Zerlgung [mm] x_0=0, x_1=1/n., x_2=2/n, ...,x_n=n/n [/mm] von [0,1], so ist
[mm] \frac{1^{k}+2^{k}+\ldots+(n-1)^{k}+n^{k}}{n^{k+1}}=\summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{n}f(x_j)=:S_n.
[/mm]
[mm] S_n [/mm] ist eine Riemannsche Zwischensumme für das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}.
[/mm]
Damit gilt : [mm] S_n \to \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
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