Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | z.z. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{log n}{n^3} [/mm] konvergiert |
Meine Idee:
Abschätzen: log n < n
(Muss ich beweisen, dass ich so abschätzen darf? - Oder ist das klar?)
Somit Majorantenkriterium:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n}{n^3} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] , diese Reihe konvergiert.
Somit konvergiert auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{log n}{n^3} [/mm] laut Majorantenkriterium.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 So 17.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> z.z. [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{log n}{n^3}[/mm] konvergiert
>
> Meine Idee:
>
> Abschätzen: log n < n
> (Muss ich beweisen, dass ich so abschätzen darf? - Oder
> ist das klar?)
Ein paar kleine Erläuterungen dazu wären nicht schlecht.
Das könnte man über die Ableitugnen schön machen, es gilt für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] $\underbrace{\frac{1}{n}}_{(\ln(n))'}<\underbrace{1}_{(x)'}$
[/mm]
Also wächst der Logartithmus schwächer als die Identität
>
> Somit Majorantenkriterium:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n}{n^3}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm] , diese Reihe
> konvergiert.
>
> Somit konvergiert auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{log n}{n^3}[/mm]
> laut Majorantenkriterium.
>
> Stimmt das so?
Ja.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, danke Rex ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> z.z. [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{log n}{n^3}[/mm] konvergiert
>
> Meine Idee:
>
> Abschätzen: log n < n
> (Muss ich beweisen, dass ich so abschätzen darf? - Oder
> ist das klar?)
Komische Frage ! Dir scheints nicht klar zu sein. Also überzeuge Dich davon , dass es so ist !
Z.B. so:
für n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] e^n=1+n+\bruch{n^2}{2}+.... [/mm] >n.
FRED
>
> Somit Majorantenkriterium:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n}{n^3}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm] , diese Reihe
> konvergiert.
>
> Somit konvergiert auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{log n}{n^3}[/mm]
> laut Majorantenkriterium.
>
> Stimmt das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> > z.z. [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{log n}{n^3}[/mm] konvergiert
> >
> > Meine Idee:
> >
> > Abschätzen: log n < n
> > (Muss ich beweisen, dass ich so abschätzen darf? - Oder
> > ist das klar?)
>
> Komische Frage ! Dir scheints nicht klar zu sein. Also
> überzeuge Dich davon , dass es so ist !
>
> Z.B. so:
>
> für n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]e^n=1+n+\bruch{n^2}{2}+....[/mm] >n.
>
> FRED
Mir ist das schon klar, die Logarithmusfunktion wächst halt ins Unendliche, aber nun einmal extrem langsam, da wächst die Lineare Funktion f(x) = x einfach konstanter und schneller.
Aber die Idee mit ner Induktion die Ungleichung zu beweisen ist gut, danke dir. :)
Was mir nur nicht ganz klar ist, ist, dass die Ableitung von 2 Funktionen (z.B. f(a) und f(b)), wobei die abgeleitete Funktion f'(a) > f'(b) ist, impliziert, dass f(a) > f(b) ist, wieso besteht diese Implikation, das wäre interessant zu wissen ...
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Hiho,
> Was mir nur nicht ganz klar ist, ist, dass die Ableitung
> von 2 Funktionen (z.B. f(a) und f(b)), wobei die
> abgeleitete Funktion f'(a) > f'(b) ist, impliziert, dass
> f(a) > f(b) ist, wieso besteht diese Implikation, das wäre
> interessant zu wissen ...
du meinst sicherlich zwei Funktionen f und g und nicht f(a) und f(b), das wären nur zwei Funktionswerte.
Die Sache gilt übrigens auch nur, falls es eine Stelle x gibt, so dass $f(x) > g(x)$ bereits gilt.
Der Beweis ist recht trivial: Betrachte $h = f - g$.
MFG,
Gono.
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