Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k+1}}{5*3^k}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{cos(k\pi)}{k+1}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} [/mm] |
Hallo,
wäre nett wenn mal jemand drüber schauen kann ob es soweit korrekt ist.
zu a)
Quotientenkriterium
[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{2^{k+2}}{5*3^{k+1}}*\frac{5*3^k}{2^{k+1}}\right|=\left|\frac{2}{3}*\frac{1}{1}\right|=\frac{2}{3}<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Reihe ist absolut konvergent
zu b)
da [mm] cos(k\pi)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{cos(k\pi)}{k+1}= \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(-1)^k\frac{1}{k+1}= \summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] harmonische Reihe, also divergent
zu c)
Hier bin ich mir nicht so sicher. Meine Idee war k um eins zu erhöhen um dann das Majorantenkriterium zu benutzen. Kann man das machen? Oder gibt es einen schöneren Weg?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Trolli!
a.) und b.) hast Du korrekt gelöst.
Bei c.) könntest Du z.B. wieder das Quotientenkriterium anwenden.
(Hier soll die Reihe aber bestimmt erst bei $k \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] starten, oder?)
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
[mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{2k+3}{(k+1)^2(k+2)^2}*\frac{k^2(k+1)^2}{2k+1}\right|= [/mm] usw. komme ich irgendwann auf 1 und damit ist ja keine Aussage möglich. Oder kommt man auf etwas anderes?
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Hallo Trolli,
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> [mm]\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{2k+3}{(k+1)^2(k+2)^2}*\frac{k^2(k+1)^2}{2k+1}\right|=[/mm]
> usw. komme ich irgendwann auf 1 und damit ist ja keine
> Aussage möglich. Oder kommt man auf etwas anderes?
Das sieht richtig aus, das QK hilft hier also wohl nicht.
Probiere es mal mit dem Majorantenkriterium.
Bekannst ist, dass die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^s}[/mm] für [mm]s>1[/mm] konvergieren und für [mm]s\le 1[/mm] divergieren. Die harmonische Reihe (für [mm]s=1[/mm]) ist also sozusagen die Grenzreihe zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
Wenn man sich nur die "Größenordnung" der Reihe in c) ansieht, so ist das doch [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{2k}{k^4}=2\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^3}[/mm] - also liegt es nahe, zu versuchen, die gegebene Reihe gegen eine konvergente Majorante dieser Bauart abzuschätzen.
Das ist nicht sonderlich schwer: um die Reihe zu vergrößern, kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern.
Bastel mal etwas ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
$ [mm] \sum\limits_{k\ge 1}\frac{2k}{k^4}=2\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^3} \le2\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^2}$
[/mm]
die harmonische Reihe [mm] \sum\frac{1}{k^\alpha} [/mm] konvergiert für [mm] \alpha [/mm] > 1
[mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe konvergiert
so in etwa?
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Hallo Trolli,
> so in etwa?
ja: wobei die erste Majorante ausreicht. Den von schachuzipus angegeben Satz vorausgesetzt.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
> [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{2k}{k^4}=2\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^3} \le2\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^2}[/mm]
>
> die harmonische Reihe [mm]\sum\frac{1}{k^\alpha}[/mm] konvergiert
> für [mm]\alpha[/mm] > 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] die Reihe konvergiert
>
> so in etwa?
Naja, das solltest du schon etwas ausführlicher machen und die Schritte, die du für die Abschätzung machst, auch dokumentieren.
Ich hatte lediglich gesagt, dass [mm] $\sum2k/k^4$ [/mm] die "Größenordnung" ist.
Konkret: [mm] $\sum\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\le\sum\frac{2k+k}{k^2k^2}=\sum\frac{3k}{k^4}=3\sum\frac{1}{k^3}$ [/mm] --> Konvergente Majorante.
Wie kommst du an "deine" Majorante?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
> Hallo nochmal,
>
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> > [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{2k}{k^4}=2\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^3} \le2\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k^2}[/mm]
>
> >
> > die harmonische Reihe [mm]\sum\frac{1}{k^\alpha}[/mm] konvergiert
> > für [mm]\alpha[/mm] > 1
> > [mm]\Rightarrow[/mm] die Reihe konvergiert
> >
> > so in etwa?
>
> Naja, das solltest du schon etwas ausführlicher machen und
> die Schritte, die du für die Abschätzung machst, auch
> dokumentieren.
>
> Ich hatte lediglich gesagt, dass [mm]\sum2k/k^4[/mm] die
> "Größenordnung" ist.
>
> Konkret:
> [mm]\sum\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\le\sum\frac{2k+k}{k^2k^2}=\sum\frac{3k}{k^4}=3\sum\frac{1}{k^3}[/mm]
> --> Konvergente Majorante.
>
> Wie kommst du an "deine" Majorante?
>
Ich hatte [mm] \frac{1}{k^2} [/mm] genommen da es offensichtlich größer als [mm] \frac{1}{k^3} [/mm] ist.
Und da die harmonische Reihe [mm] \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^\alpha}=\begin{cases} \mbox{abs konvergent}, & \mbox{für } \alpha >1 \\ \mbox{divergent}, & \mbox{für } \alpha\le 1 \end{cases} [/mm] ist.
Aber [mm] 3\sum\frac{1}{k^3} [/mm] ist ja schon die Majorante.
Vielen Dank.
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